---

Step * 1 of Lemma decidable__cs-committed-change


1. [V] : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. ∀L:V List. Dec(∃v:V. (¬(v ∈ L)))@i
5. A : Id List@i
6. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
7. one-intersection(A;W)@i
8. i : ℤ@i
9. x : ConsensusState@i
10. y : ConsensusState@i
11. L : V List
12. ∀v:V
      (in state x, inning i could commit v 
      ⇐⇒ (in state x, inning i could commit v  ∧ (v ∈ L))
          ∨ (∃ws∈W. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ in state x, a has not completed inning i)))
13. ¬(∃v∈L. in state x, inning i could commit v  ∧ (¬in state y, inning i could commit v ))
14. (∃ws∈W. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ in state x, a has not completed inning i))
⊢ Dec(∃v:V. (in state x, inning i could commit v  ∧ (¬in state y, inning i could commit v )))
BY
{ Assert ⌈∃v:V. (in state x, inning i could commit v  ∧ (¬in state y, inning i could commit v ))
          ⇐⇒ ∃v:V. (¬in state y, inning i could commit v )⌉⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [V] : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. ∀L:V List. Dec(∃v:V. (¬(v ∈ L)))@i
5. A : Id List@i
6. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
7. one-intersection(A;W)@i
8. i : ℤ@i
9. x : ConsensusState@i
10. y : ConsensusState@i
11. L : V List
12. ∀v:V
      (in state x, inning i could commit v 
      ⇐⇒ (in state x, inning i could commit v  ∧ (v ∈ L))
          ∨ (∃ws∈W. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ in state x, a has not completed inning i)))
13. ¬(∃v∈L. in state x, inning i could commit v  ∧ (¬in state y, inning i could commit v ))
14. (∃ws∈W. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ in state x, a has not completed inning i))
⊢ ∃v:V. (in state x, inning i could commit v  ∧ (¬in state y, inning i could commit v ))
⇐⇒ ∃v:V. (¬in state y, inning i could commit v )

2
1. [V] : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. ∀L:V List. Dec(∃v:V. (¬(v ∈ L)))@i
5. A : Id List@i
6. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
7. one-intersection(A;W)@i
8. i : ℤ@i
9. x : ConsensusState@i
10. y : ConsensusState@i
11. L : V List
12. ∀v:V
      (in state x, inning i could commit v 
      ⇐⇒ (in state x, inning i could commit v  ∧ (v ∈ L))
          ∨ (∃ws∈W. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ in state x, a has not completed inning i)))
13. ¬(∃v∈L. in state x, inning i could commit v  ∧ (¬in state y, inning i could commit v ))
14. (∃ws∈W. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . ((a ∈ ws) ⇒ in state x, a has not completed inning i))
15. ∃v:V. (in state x, inning i could commit v  ∧ (¬in state y, inning i could commit v ))
⇐⇒ ∃v:V. (¬in state y, inning i could commit v )
⊢ Dec(∃v:V. (in state x, inning i could commit v  ∧ (¬in state y, inning i could commit v )))

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  \mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))@i
3.  \mforall{}v,v':V.    Dec(v  =  v')@i
4.  \mforall{}L:V  List.  Dec(\mexists{}v:V.  (\mneg{}(v  \mmember{}  L)))@i
5.  A  :  Id  List@i
6.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
7.  one-intersection(A;W)@i
8.  i  :  \mBbbZ{}@i
9.  x  :  ConsensusState@i
10.  y  :  ConsensusState@i
11.  L  :  V  List
12.  \mforall{}v:V
            (in  state  x,  inning  i  could  commit  v 
            \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (in  state  x,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  (v  \mmember{}  L))
                    \mvee{}  (\mexists{}ws\mmember{}W.  \mforall{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  ((a  \mmember{}  ws)  {}\mRightarrow{}  in  state  x,  a  has  not  completed  inning  i)))
13.  \mneg{}(\mexists{}v\mmember{}L.  in  state  x,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  (\mneg{}in  state  y,  inning  i  could  commit  v  ))
14.  (\mexists{}ws\mmember{}W.  \mforall{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  ((a  \mmember{}  ws)  {}\mRightarrow{}  in  state  x,  a  has  not  completed  inning  i))
\mvdash{}  Dec(\mexists{}v:V.  (in  state  x,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  (\mneg{}in  state  y,  inning  i  could  commit  v  )))


By

Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}v:V.  (in  state  x,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  (\mneg{}in  state  y,  inning  i  could  commit  v  ))
                \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}v:V.  (\mneg{}in  state  y,  inning  i  could  commit  v  )\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index