---

Step * 1 2 of Lemma decidable__exists-pred-iterated-classrel-between3-sv


1. [Info] : Type
2. [T] : Type
3. [S] : Type
4. init : Id ─→ bag(S)@i
5. f : T ─→ S ─→ S@i
6. X : EClass(T)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. P : T ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. single-valued-classrel(es;X;T)@i
11. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
12. ∀v:T. ∀s:S.  Dec(P[v;s])@i
13. e2 : E@i
14. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ Dec(∃e:E
              ∃s:S
               ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ iterated-classrel(es;S;T;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:T. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s])))))
15. loc(e1) = loc(e2) ∈ Id
16. Dec(∃v:T. v ∈ X(e2))
17. ¬↑first(e2)
⊢ Dec(∃e:E
       ∃s:S. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ iterated-classrel(es;S;T;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:T. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s]))))
BY
{ ((InstHyp [⌈pred(e2)⌉] (-4)⋅ THENA Auto) THEN D (-1)) }

1
1. [Info] : Type
2. [T] : Type
3. [S] : Type
4. init : Id ─→ bag(S)@i
5. f : T ─→ S ─→ S@i
6. X : EClass(T)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. P : T ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. single-valued-classrel(es;X;T)@i
11. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
12. ∀v:T. ∀s:S.  Dec(P[v;s])@i
13. e2 : E@i
14. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ Dec(∃e:E
              ∃s:S
               ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ iterated-classrel(es;S;T;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:T. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s])))))
15. loc(e1) = loc(e2) ∈ Id
16. Dec(∃v:T. v ∈ X(e2))
17. ¬↑first(e2)
18. ∃e:E
     ∃s:S. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ iterated-classrel(es;S;T;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:T. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s])))
⊢ Dec(∃e:E
       ∃s:S. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ iterated-classrel(es;S;T;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:T. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s]))))

2
1. [Info] : Type
2. [T] : Type
3. [S] : Type
4. init : Id ─→ bag(S)@i
5. f : T ─→ S ─→ S@i
6. X : EClass(T)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. P : T ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. single-valued-classrel(es;X;T)@i
11. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
12. ∀v:T. ∀s:S.  Dec(P[v;s])@i
13. e2 : E@i
14. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ Dec(∃e:E
              ∃s:S
               ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ iterated-classrel(es;S;T;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:T. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s])))))
15. loc(e1) = loc(e2) ∈ Id
16. Dec(∃v:T. v ∈ X(e2))
17. ¬↑first(e2)
18. ¬(∃e:E
       ∃s:S
        ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ iterated-classrel(es;S;T;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:T. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s]))))
⊢ Dec(∃e:E
       ∃s:S. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ iterated-classrel(es;S;T;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃v:T. (v ∈ X(e) ∧ P[v;s]))))

---

Latex:



1.  [Info]  :  Type
2.  [T]  :  Type
3.  [S]  :  Type
4.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)@i
5.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S@i
6.  X  :  EClass(T)@i'
7.  es  :  EO+(Info)@i'
8.  P  :  T  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
9.  e1  :  E@i
10.  single-valued-classrel(es;X;T)@i
11.  single-valued-bag(init  loc(e1);S)@i
12.  \mforall{}v:T.  \mforall{}s:S.    Dec(P[v;s])@i
13.  e2  :  E@i
14.  \mforall{}e':E
            ((e'  <  e2)
            {}\mRightarrow{}  Dec(\mexists{}e:E
                            \mexists{}s:S
                              ((e1  <loc  e)
                              \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e' 
                              \mwedge{}  iterated-classrel(es;S;T;f;init;X;pred(e);s)
                              \mwedge{}  (\mexists{}v:T.  (v  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[v;s])))))
15.  loc(e1)  =  loc(e2)
16.  Dec(\mexists{}v:T.  v  \mmember{}  X(e2))
17.  \mneg{}\muparrow{}first(e2)
\mvdash{}  Dec(\mexists{}e:E
              \mexists{}s:S
                ((e1  <loc  e)
                \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2 
                \mwedge{}  iterated-classrel(es;S;T;f;init;X;pred(e);s)
                \mwedge{}  (\mexists{}v:T.  (v  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[v;s]))))


By

((InstHyp  [\mkleeneopen{}pred(e2)\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  D  (-1))

---

Home Index