---

Step * 1 2 2 of Lemma fpf-split


1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. [B] : A ─→ Type
4. d : A List@i
5. f1 : a:{a:A| (a ∈ d)}  ─→ B[a]@i
6. [P] : A ─→ ℙ
7. dec : ∀a:A. Dec(P[a])@i
8. <d, f1> ∈ a:A fp-> B[a]
9. <filter(λa.[dec a]b;d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]
⊢ ∃fp,fnp:a:A fp-> B[a]
   ((<d, f1> ⊆ fp ⊕ fnp ∧ fp ⊕ fnp ⊆ <d, f1>)
   ∧ ((∀a:A. P[a] supposing ↑a ∈ dom(fp)) ∧ (∀a:A. ¬P[a] supposing ↑a ∈ dom(fnp)))
   ∧ fpf-domain(fp) ⊆ fpf-domain(<d, f1>)
   ∧ fpf-domain(fnp) ⊆ fpf-domain(<d, f1>))
BY
{ Assert ⌈<filter(λa.(¬b[dec a]b);d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]⌉⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. [B] : A ─→ Type
4. d : A List@i
5. f1 : a:{a:A| (a ∈ d)}  ─→ B[a]@i
6. [P] : A ─→ ℙ
7. dec : ∀a:A. Dec(P[a])@i
8. <d, f1> ∈ a:A fp-> B[a]
9. <filter(λa.[dec a]b;d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]
⊢ <filter(λa.(¬b[dec a]b);d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]

2
1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. [B] : A ─→ Type
4. d : A List@i
5. f1 : a:{a:A| (a ∈ d)}  ─→ B[a]@i
6. [P] : A ─→ ℙ
7. dec : ∀a:A. Dec(P[a])@i
8. <d, f1> ∈ a:A fp-> B[a]
9. <filter(λa.[dec a]b;d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]
10. <filter(λa.(¬b[dec a]b);d), f1> ∈ a:A fp-> B[a]
⊢ ∃fp,fnp:a:A fp-> B[a]
   ((<d, f1> ⊆ fp ⊕ fnp ∧ fp ⊕ fnp ⊆ <d, f1>)
   ∧ ((∀a:A. P[a] supposing ↑a ∈ dom(fp)) ∧ (∀a:A. ¬P[a] supposing ↑a ∈ dom(fnp)))
   ∧ fpf-domain(fp) ⊆ fpf-domain(<d, f1>)
   ∧ fpf-domain(fnp) ⊆ fpf-domain(<d, f1>))

---

Latex:



1.  [A]  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(A)@i
3.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
4.  d  :  A  List@i
5.  f1  :  a:\{a:A|  (a  \mmember{}  d)\}    {}\mrightarrow{}  B[a]@i
6.  [P]  :  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  dec  :  \mforall{}a:A.  Dec(P[a])@i
8.  <d,  f1>  \mmember{}  a:A  fp->  B[a]
9.  <filter(\mlambda{}a.[dec  a]\msubb{};d),  f1>  \mmember{}  a:A  fp->  B[a]
\mvdash{}  \mexists{}fp,fnp:a:A  fp->  B[a]
      ((<d,  f1>  \msubseteq{}  fp  \moplus{}  fnp  \mwedge{}  fp  \moplus{}  fnp  \msubseteq{}  <d,  f1>)
      \mwedge{}  ((\mforall{}a:A.  P[a]  supposing  \muparrow{}a  \mmember{}  dom(fp))  \mwedge{}  (\mforall{}a:A.  \mneg{}P[a]  supposing  \muparrow{}a  \mmember{}  dom(fnp)))
      \mwedge{}  fpf-domain(fp)  \msubseteq{}  fpf-domain(<d,  f1>)
      \mwedge{}  fpf-domain(fnp)  \msubseteq{}  fpf-domain(<d,  f1>))


By

Assert  \mkleeneopen{}<filter(\mlambda{}a.(\mneg{}\msubb{}[dec  a]\msubb{});d),  f1>  \mmember{}  a:A  fp->  B[a]\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index