---

Step * 2 2 of Lemma fpf-sub-functionality


1. A : Type
2. A' : Type
3. strong-subtype(A;A')
4. B : A ─→ Type
5. C : A' ─→ Type
6. eq : EqDecider(A)
7. eq' : EqDecider(A')
8. f : a:A fp-> B[a]
9. g : a:A fp-> B[a]
10. ∀a:A. (B[a] ⊆r C[a])
11. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(f)) ⇒ ((↑x ∈ dom(g)) c∧ (f(x) = g(x) ∈ B[x])))
12. ∀b:A'. ∀a:A.  ((b = a ∈ A') ⇒ (b = a ∈ A))
13. x : A@i
14. ↑x ∈ dom(f)@i
15. ↑x ∈ dom(g)
16. f(x) = g(x) ∈ B[x]
17. ↑x ∈ dom(g)
⊢ f(x) = g(x) ∈ C[x]
BY
{ ((All (Unfold `fpf-ap`)) THEN (HypSubst (-2) 0)) }

1
1. A : Type
2. A' : Type
3. strong-subtype(A;A')
4. B : A ─→ Type
5. C : A' ─→ Type
6. eq : EqDecider(A)
7. eq' : EqDecider(A')
8. f : a:A fp-> B[a]
9. g : a:A fp-> B[a]
10. ∀a:A. (B[a] ⊆r C[a])
11. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(f)) ⇒ ((↑x ∈ dom(g)) c∧ (((snd(f)) x) = ((snd(g)) x) ∈ B[x])))
12. ∀b:A'. ∀a:A.  ((b = a ∈ A') ⇒ (b = a ∈ A))
13. x : A@i
14. ↑x ∈ dom(f)@i
15. ↑x ∈ dom(g)
16. ((snd(f)) x) = ((snd(g)) x) ∈ B[x]
17. ↑x ∈ dom(g)
⊢ ((snd(g)) x) = ((snd(g)) x) ∈ C[x]

2
.....wf..... 
1. A : Type
2. A' : Type
3. strong-subtype(A;A')
4. B : A ─→ Type
5. C : A' ─→ Type
6. eq : EqDecider(A)
7. eq' : EqDecider(A')
8. f : a:A fp-> B[a]
9. g : a:A fp-> B[a]
10. ∀a:A. (B[a] ⊆r C[a])
11. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(f)) ⇒ ((↑x ∈ dom(g)) c∧ (((snd(f)) x) = ((snd(g)) x) ∈ B[x])))
12. ∀b:A'. ∀a:A.  ((b = a ∈ A') ⇒ (b = a ∈ A))
13. x : A@i
14. ↑x ∈ dom(f)@i
15. ↑x ∈ dom(g)
16. ((snd(f)) x) = ((snd(g)) x) ∈ B[x]
17. ↑x ∈ dom(g)
18. z : B[x]
⊢ z = ((snd(g)) x) ∈ C[x] ∈ ℙ

---

Latex:



1.  A  :  Type
2.  A'  :  Type
3.  strong-subtype(A;A')
4.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
5.  C  :  A'  {}\mrightarrow{}  Type
6.  eq  :  EqDecider(A)
7.  eq'  :  EqDecider(A')
8.  f  :  a:A  fp->  B[a]
9.  g  :  a:A  fp->  B[a]
10.  \mforall{}a:A.  (B[a]  \msubseteq{}r  C[a])
11.  \mforall{}x:A.  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(f))  {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(g))  c\mwedge{}  (f(x)  =  g(x))))
12.  \mforall{}b:A'.  \mforall{}a:A.    ((b  =  a)  {}\mRightarrow{}  (b  =  a))
13.  x  :  A@i
14.  \muparrow{}x  \mmember{}  dom(f)@i
15.  \muparrow{}x  \mmember{}  dom(g)
16.  f(x)  =  g(x)
17.  \muparrow{}x  \mmember{}  dom(g)
\mvdash{}  f(x)  =  g(x)


By

((All  (Unfold  `fpf-ap`))  THEN  (HypSubst  (-2)  0))

---

Home Index