---

Step * of Lemma fpf-sub-val3

∀[A:Type]. ∀[B,C:A ─→ Type].
  ∀eq:EqDecider(A). ∀f:a:A fp-> B[a]. ∀g:a:A fp-> C[a]. ∀x:A.
    ∀[P:a:A ─→ B[a] ─→ ℙ]. ∀[Q:a:A ─→ C[a] ─→ ℙ].
      ((∀x:A. ((C[x] ⊆r B[x]) c∧ (P[x;g(x)] ⇒ Q[x;g(x)])) supposing ((↑x ∈ dom(f)) and (↑x ∈ dom(g))))
      ⇒ {z != f(x) ==> P[y;z] ⇒ z != g(x) ==> Q[y;z] supposing g ⊆ f})
BY
{ (((Unfolds ``guard fpf-sub fpf-val`` 0
     THEN Auto
     THEN Try ((DoSubsume THEN Auto))
     THEN Repeat ((BackThruSomeHyp THEN Auto))
     THEN (InstHyp [⌈x⌉] (-3))⋅)
    THENA Auto
    )
   THEN ExRepD
   THEN ThinTrivial) }

1
1. [A] : Type
2. [B] : A ─→ Type
3. [C] : A ─→ Type
4. eq : EqDecider(A)@i
5. f : a:A fp-> B[a]@i
6. g : a:A fp-> C[a]@i
7. x : A@i
8. [P] : a:A ─→ B[a] ─→ ℙ
9. [Q] : a:A ─→ C[a] ─→ ℙ
10. ∀x:A. ((C[x] ⊆r B[x]) c∧ (P[x;g(x)] ⇒ Q[x;g(x)])) supposing ((↑x ∈ dom(f)) and (↑x ∈ dom(g)))@i
11. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(g)) ⇒ ((↑x ∈ dom(f)) c∧ (g(x) = f(x) ∈ B[x])))
12. ↑x ∈ dom(g)@i
13. ↑x ∈ dom(f)
14. g(x) = f(x) ∈ B[x]
15. P[x;f(x)]@i
⊢ P[x;g(x)]

---

Latex:


\mforall{}[A:Type].  \mforall{}[B,C:A  {}\mrightarrow{}  Type].
    \mforall{}eq:EqDecider(A).  \mforall{}f:a:A  fp->  B[a].  \mforall{}g:a:A  fp->  C[a].  \mforall{}x:A.
        \mforall{}[P:a:A  {}\mrightarrow{}  B[a]  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[Q:a:A  {}\mrightarrow{}  C[a]  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
            ((\mforall{}x:A
                    ((C[x]  \msubseteq{}r  B[x])  c\mwedge{}  (P[x;g(x)]  {}\mRightarrow{}  Q[x;g(x)]))  supposing  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(f))  and  (\muparrow{}x  \mmember{}  dom(g))))
            {}\mRightarrow{}  \{z  !=  f(x)  ==>  P[y;z]  {}\mRightarrow{}  z  !=  g(x)  ==>  Q[y;z]  supposing  g  \msubseteq{}  f\})


By

(((Unfolds  ``guard  fpf-sub  fpf-val``  0
      THEN  Auto
      THEN  Try  ((DoSubsume  THEN  Auto))
      THEN  Repeat  ((BackThruSomeHyp  THEN  Auto))
      THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-3))\mcdot{})
    THENA  Auto
    )
  THEN  ExRepD
  THEN  ThinTrivial)

---

Home Index