---

Step * 1 1 1 of Lemma fpf-union-contains2


1. [A] : Type
2. [V] : Type
3. [B] : A ─→ Type
4. ∀a:A. ((B a) ⊆r V)
5. eq : EqDecider(A)@i
6. f : x:A fp-> (B x) List@i
7. g : x:A fp-> (B x) List@i
8. fpf-single-valued(A;eq;x.B x;V;g)
9. x : A@i
10. R : (V List) ─→ V ─→ 𝔹@i
11. fpf-union-compatible(A;V;x.B x;eq;R;f;g)@i
12. ↑x ∈ dom(g)
13. ↑x ∈ dom(f)
14. (B x) ⊆r V
15. a : B x@i
16. (a ∈ g(x))@i
17. ¬↑(R f(x) a)
⊢ (a ∈ f(x))
BY
{ (OnMaybeHyp 11 (\h. (Unfold `fpf-union-compatible` h THEN (InstHyp [⌈x⌉;⌈a⌉] h⋅ THENA Auto))⋅)
   THEN ExRepD
   THEN Subst ⌈a = a' ∈ B[x]⌉ 0⋅
   THEN Try (Complete (Auto))) }

1
.....equality..... 
1. A : Type
2. V : Type
3. B : A ─→ Type
4. ∀a:A. ((B a) ⊆r V)
5. eq : EqDecider(A)@i
6. f : x:A fp-> (B x) List@i
7. g : x:A fp-> (B x) List@i
8. fpf-single-valued(A;eq;x.B x;V;g)
9. x : A@i
10. R : (V List) ─→ V ─→ 𝔹@i
11. ∀x:A
      ((↑x ∈ dom(g))
      ⇒ (↑x ∈ dom(f))
      ⇒ (∀a:V
            ((((a ∈ g(x)) ∧ (¬↑(R f(x) a))) ∨ ((a ∈ f(x)) ∧ (¬↑(R g(x) a))))
            ⇒ (∃a':B x. ((a' = a ∈ V) ∧ (a' ∈ f(x)) ∧ (a' ∈ g(x)))))))@i
12. ↑x ∈ dom(g)
13. ↑x ∈ dom(f)
14. (B x) ⊆r V
15. a : B x@i
16. (a ∈ g(x))@i
17. ¬↑(R f(x) a)
18. a' : B x
19. a' = a ∈ V
20. (a' ∈ f(x))
21. (a' ∈ g(x))
⊢ a = a' ∈ B[x]

---

Latex:



1.  [A]  :  Type
2.  [V]  :  Type
3.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
4.  \mforall{}a:A.  ((B  a)  \msubseteq{}r  V)
5.  eq  :  EqDecider(A)@i
6.  f  :  x:A  fp->  (B  x)  List@i
7.  g  :  x:A  fp->  (B  x)  List@i
8.  fpf-single-valued(A;eq;x.B  x;V;g)
9.  x  :  A@i
10.  R  :  (V  List)  {}\mrightarrow{}  V  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
11.  fpf-union-compatible(A;V;x.B  x;eq;R;f;g)@i
12.  \muparrow{}x  \mmember{}  dom(g)
13.  \muparrow{}x  \mmember{}  dom(f)
14.  (B  x)  \msubseteq{}r  V
15.  a  :  B  x@i
16.  (a  \mmember{}  g(x))@i
17.  \mneg{}\muparrow{}(R  f(x)  a)
\mvdash{}  (a  \mmember{}  f(x))


By

(OnMaybeHyp  11  (\mbackslash{}h.  (Unfold  `fpf-union-compatible`  h  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  h\mcdot{}  THENA  Auto))\mcdot{})
  THEN  ExRepD
  THEN  Subst  \mkleeneopen{}a  =  a'\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  Try  (Complete  (Auto)))

---

Home Index