---

Step * 2 2 of Lemma global-order-compat-combine


1. [Info] : Type
2. L1 : (Id × Info) List@i
3. ys : (Id × Info) List@i
4. y : Id × Info@i
5. L1 || ys @ [y]@i
6. ∃L:(Id × Info) List
    (L1 ≤ L
    ∧ (∃f:ℕ||ys|| ─→ ℕ||L||
        ((∀i,j:ℕ||ys||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||)))
        ∧ (∀j:ℕ||ys||
             ((ys[j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
             ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn(j + 1;ys))
               = filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn((f j) + 1;L))
               ∈ ((Id × Info) List))))
        ∧ (∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||ys||. (x = (f i) ∈ ℤ))))))
    ∧ ys ≤ L, locally
    ∧ (∀i:Id
         ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
         ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;ys) ∈ ((Id × Info) List)))))@i
⊢ ∃L:(Id × Info) List
   (L1 ≤ L
   ∧ (∃f:ℕ||ys @ [y]|| ─→ ℕ||L||
       ((∀i,j:ℕ||ys @ [y]||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||)))
       ∧ (∀j:ℕ||ys @ [y]||
            ((ys @ [y][j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
            ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(ys @ [y][j]);firstn(j + 1;ys @ [y]))
              = filter(λx.fst(x) = fst(ys @ [y][j]);firstn((f j) + 1;L))
              ∈ ((Id × Info) List))))
       ∧ (∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||ys @ [y]||. (x = (f i) ∈ ℤ))))))
   ∧ ys @ [y] ≤ L, locally
   ∧ (∀i:Id
        ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
        ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;ys @ [y]) ∈ ((Id × Info) List)))))
BY
{ ExRepD }

1
1. [Info] : Type
2. L1 : (Id × Info) List@i
3. ys : (Id × Info) List@i
4. y : Id × Info@i
5. L1 || ys @ [y]@i
6. L : (Id × Info) List@i
7. L1 ≤ L@i
8. f : ℕ||ys|| ─→ ℕ||L||@i
9. ∀i,j:ℕ||ys||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||))@i
10. ∀j:ℕ||ys||
      ((ys[j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
      ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn(j + 1;ys))
        = filter(λx.fst(x) = fst(ys[j]);firstn((f j) + 1;L))
        ∈ ((Id × Info) List)))@i
11. ∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||ys||. (x = (f i) ∈ ℤ)))@i
12. ys ≤ L, locally@i
13. ∀i:Id
      ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
      ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;ys) ∈ ((Id × Info) List)))@i
⊢ ∃L:(Id × Info) List
   (L1 ≤ L
   ∧ (∃f:ℕ||ys @ [y]|| ─→ ℕ||L||
       ((∀i,j:ℕ||ys @ [y]||.  (i < j ⇒ (f i < f j ∨ f j < ||L1||)))
       ∧ (∀j:ℕ||ys @ [y]||
            ((ys @ [y][j] = L[f j] ∈ (Id × Info))
            ∧ (filter(λx.fst(x) = fst(ys @ [y][j]);firstn(j + 1;ys @ [y]))
              = filter(λx.fst(x) = fst(ys @ [y][j]);firstn((f j) + 1;L))
              ∈ ((Id × Info) List))))
       ∧ (∀x:ℕ||L||. (x < ||L1|| ∨ (∃i:ℕ||ys @ [y]||. (x = (f i) ∈ ℤ))))))
   ∧ ys @ [y] ≤ L, locally
   ∧ (∀i:Id
        ((filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;L1) ∈ ((Id × Info) List))
        ∨ (filter(λx.fst(x) = i;L) = filter(λx.fst(x) = i;ys @ [y]) ∈ ((Id × Info) List)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [Info]  :  Type
2.  L1  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
3.  ys  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
4.  y  :  Id  \mtimes{}  Info@i
5.  L1  ||  ys  @  [y]@i
6.  \mexists{}L:(Id  \mtimes{}  Info)  List
        (L1  \mleq{}  L
        \mwedge{}  (\mexists{}f:\mBbbN{}||ys||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
                ((\mforall{}i,j:\mBbbN{}||ys||.    (i  <  j  {}\mRightarrow{}  (f  i  <  f  j  \mvee{}  f  j  <  ||L1||)))
                \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}||ys||
                          ((ys[j]  =  L[f  j])
                          \mwedge{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(ys[j]);firstn(j  +  1;ys))
                              =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(ys[j]);firstn((f  j)  +  1;L)))))
                \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbN{}||L||.  (x  <  ||L1||  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}||ys||.  (x  =  (f  i)))))))
        \mwedge{}  ys  \mleq{}  L,  locally
        \mwedge{}  (\mforall{}i:Id
                  ((filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L1))
                  \mvee{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;ys)))))@i
\mvdash{}  \mexists{}L:(Id  \mtimes{}  Info)  List
      (L1  \mleq{}  L
      \mwedge{}  (\mexists{}f:\mBbbN{}||ys  @  [y]||  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}||L||
              ((\mforall{}i,j:\mBbbN{}||ys  @  [y]||.    (i  <  j  {}\mRightarrow{}  (f  i  <  f  j  \mvee{}  f  j  <  ||L1||)))
              \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}||ys  @  [y]||
                        ((ys  @  [y][j]  =  L[f  j])
                        \mwedge{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(ys  @  [y][j]);firstn(j  +  1;ys  @  [y]))
                            =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  fst(ys  @  [y][j]);firstn((f  j)  +  1;L)))))
              \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbN{}||L||.  (x  <  ||L1||  \mvee{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}||ys  @  [y]||.  (x  =  (f  i)))))))
      \mwedge{}  ys  @  [y]  \mleq{}  L,  locally
      \mwedge{}  (\mforall{}i:Id
                ((filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L1))
                \mvee{}  (filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;L)  =  filter(\mlambda{}x.fst(x)  =  i;ys  @  [y])))))


By

---

Latex:
ExRepD

---

Home Index