---

Step * 1 2 1 2 2 1 1 of Lemma global-order-pairwise-compat-invariant


1. [Info] : Type
2. [P] : Id ─→ Info List+ ─→ ℙ
3. [R] : Id ─→ Id ─→ Info List+ ─→ Info List+ ─→ ℙ
4. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) ∈ EO+(Info) ─→ ℙ
5. u : (Id × Info) List@i
6. v : (Id × Info) List List@i
7. (∀L1,L2∈v.  L1 || L2)
8. (∀L2∈v.u || L2)
9. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(u)
10. (∀L∈v.causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(L))
11. G : (Id × Info) List@i'
12. ∀L':(Id × Info) List. ((∀L∈v.L || L') ⇒ G || L')@i'
13. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(G)@i'
14. ∀i:ℕ||v||. ∃f:E ─→ E. es-local-embedding(Info;global-eo(v[i]);global-eo(G);f)@i'
15. L : (Id × Info) List
16. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(L)
17. ∀L':(Id × Info) List. (G || L' ⇒ u || L' ⇒ L || L')
18. f1 : E ─→ E
19. es-local-embedding(Info;global-eo(G);global-eo(L);f1)
20. g : E ─→ E
21. es-local-embedding(Info;global-eo(u);global-eo(L);g)
22. ∀L':(Id × Info) List. ((∀L∈[u / v].L || L') ⇒ L || L')
23. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(L)
24. f : E ─→ E
25. es-local-embedding(Info;global-eo(u);global-eo(L);f)
26. i : ℕ||v||@i
27. f2 : E ─→ E
28. es-local-embedding(Info;global-eo(v[i]);global-eo(G);f2)
⊢ ∃f:E ─→ E. es-local-embedding(Info;global-eo(v[i]);global-eo(L);f)
BY
{ (With ⌈f1 o f2⌉ (D 0)⋅ THEN Auto) }

1
1. [Info] : Type
2. [P] : Id ─→ Info List+ ─→ ℙ
3. [R] : Id ─→ Id ─→ Info List+ ─→ Info List+ ─→ ℙ
4. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) ∈ EO+(Info) ─→ ℙ
5. u : (Id × Info) List@i
6. v : (Id × Info) List List@i
7. (∀L1,L2∈v.  L1 || L2)
8. (∀L2∈v.u || L2)
9. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(u)
10. (∀L∈v.causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(L))
11. G : (Id × Info) List@i'
12. ∀L':(Id × Info) List. ((∀L∈v.L || L') ⇒ G || L')@i'
13. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(G)@i'
14. ∀i:ℕ||v||. ∃f:E ─→ E. es-local-embedding(Info;global-eo(v[i]);global-eo(G);f)@i'
15. L : (Id × Info) List
16. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(L)
17. ∀L':(Id × Info) List. (G || L' ⇒ u || L' ⇒ L || L')
18. f1 : E ─→ E
19. es-local-embedding(Info;global-eo(G);global-eo(L);f1)
20. g : E ─→ E
21. es-local-embedding(Info;global-eo(u);global-eo(L);g)
22. ∀L':(Id × Info) List. ((∀L∈[u / v].L || L') ⇒ L || L')
23. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(L)
24. f : E ─→ E
25. es-local-embedding(Info;global-eo(u);global-eo(L);f)
26. i : ℕ||v||@i
27. f2 : E ─→ E
28. es-local-embedding(Info;global-eo(v[i]);global-eo(G);f2)
⊢ es-local-embedding(Info;global-eo(v[i]);global-eo(L);f1 o f2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [Info]  :  Type
2.  [P]  :  Id  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [R]  :  Id  {}\mrightarrow{}  Id  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2])  \mmember{}  EO+(Info)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  u  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i
6.  v  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List  List@i
7.  (\mforall{}L1,L2\mmember{}v.    L1  ||  L2)
8.  (\mforall{}L2\mmember{}v.u  ||  L2)
9.  causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2])  global-eo(u)
10.  (\mforall{}L\mmember{}v.causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2])  global-eo(L))
11.  G  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List@i'
12.  \mforall{}L':(Id  \mtimes{}  Info)  List.  ((\mforall{}L\mmember{}v.L  ||  L')  {}\mRightarrow{}  G  ||  L')@i'
13.  causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2])  global-eo(G)@i'
14.  \mforall{}i:\mBbbN{}||v||.  \mexists{}f:E  {}\mrightarrow{}  E.  es-local-embedding(Info;global-eo(v[i]);global-eo(G);f)@i'
15.  L  :  (Id  \mtimes{}  Info)  List
16.  causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2])  global-eo(L)
17.  \mforall{}L':(Id  \mtimes{}  Info)  List.  (G  ||  L'  {}\mRightarrow{}  u  ||  L'  {}\mRightarrow{}  L  ||  L')
18.  f1  :  E  {}\mrightarrow{}  E
19.  es-local-embedding(Info;global-eo(G);global-eo(L);f1)
20.  g  :  E  {}\mrightarrow{}  E
21.  es-local-embedding(Info;global-eo(u);global-eo(L);g)
22.  \mforall{}L':(Id  \mtimes{}  Info)  List.  ((\mforall{}L\mmember{}[u  /  v].L  ||  L')  {}\mRightarrow{}  L  ||  L')
23.  causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2])  global-eo(L)
24.  f  :  E  {}\mrightarrow{}  E
25.  es-local-embedding(Info;global-eo(u);global-eo(L);f)
26.  i  :  \mBbbN{}||v||@i
27.  f2  :  E  {}\mrightarrow{}  E
28.  es-local-embedding(Info;global-eo(v[i]);global-eo(G);f2)
\mvdash{}  \mexists{}f:E  {}\mrightarrow{}  E.  es-local-embedding(Info;global-eo(v[i]);global-eo(L);f)


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}f1  o  f2\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index