---

Step * of Lemma iterated-classrel-mem

∀[Info,A,S:Type]. ∀[init:Id ─→ bag(S)]. ∀[f:A ─→ S ─→ S]. ∀[X:EClass(A)].
  ∀es:EO+(Info). ∀R:A ─→ S ─→ S ─→ ℙ. ∀e1,e2:E. ∀v1,v2:S. ∀a:A.
    (single-valued-classrel(es;X;A)
    ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
    ⇒ (∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
          (e1 ≤loc e  ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e) ⇒ R[a;s;f a s]))
    ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e':E.
          (e1 ≤loc e 
          ⇒ (e <loc e')
          ⇒ e' ≤loc e2 
          ⇒ a1 ∈ X(e)
          ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
          ⇒ a2 ∈ X(e')
          ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
          ⇒ R[a1;s1;s2]
          ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
    ⇒ e1 ≤loc e2 
    ⇒ a ∈ X(e1)
    ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
    ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
    ⇒ R[a;v1;v2])
BY
{ (RepeatFor 9 ((D 0 THENA Auto))
   THEN VrCausalInd'
   THEN (UnivCD THENA Auto)
   THEN RecUnfold `iterated-classrel` (-1)
   THEN ExRepD
   THEN (SplitOnHypITE (-2) THENA Auto)) }

1
.....truecase..... 
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [X] : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ e ≤loc e' 
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
                  ⇒ R[a;s;f a s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e' 
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ e1 ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
            ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ R[a;v1;v2])))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
      (e1 ≤loc e  ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2 
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
19. e1 ≤loc e2 @i
20. a ∈ X(e1)@i
21. prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)@i
22. z : S@i
23. z ↓∈ init loc(e2)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ↑first(e2)
⊢ R[a;v1;v2]

2
.....falsecase..... 
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [X] : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ e ≤loc e' 
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
                  ⇒ R[a;s;f a s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e' 
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ e1 ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
            ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ R[a;v1;v2])))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
      (e1 ≤loc e  ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2 
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
19. e1 ≤loc e2 @i
20. a ∈ X(e1)@i
21. prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ¬↑first(e2)
⊢ R[a;v1;v2]

---

Latex:


\mforall{}[Info,A,S:Type].  \mforall{}[init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)].  \mforall{}[f:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S].  \mforall{}[X:EClass(A)].
    \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}R:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}e1,e2:E.  \mforall{}v1,v2:S.  \mforall{}a:A.
        (single-valued-classrel(es;X;A)
        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);S)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}s:S.  \mforall{}e:E.
                    (e1  \mleq{}loc  e 
                    {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
                    {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                    {}\mRightarrow{}  prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
                    {}\mRightarrow{}  R[a;s;f  a  s]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a1,a2:A.  \mforall{}s1,s2:S.  \mforall{}e,e':E.
                    (e1  \mleq{}loc  e 
                    {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e')
                    {}\mRightarrow{}  e'  \mleq{}loc  e2 
                    {}\mRightarrow{}  a1  \mmember{}  X(e)
                    {}\mRightarrow{}  prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
                    {}\mRightarrow{}  a2  \mmember{}  X(e')
                    {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;s2]
                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;f  a2  s2]))
        {}\mRightarrow{}  e1  \mleq{}loc  e2 
        {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e1)
        {}\mRightarrow{}  prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
        {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
        {}\mRightarrow{}  R[a;v1;v2])


By

(RepeatFor  9  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  VrCausalInd'
  THEN  (UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  RecUnfold  `iterated-classrel`  (-1)
  THEN  ExRepD
  THEN  (SplitOnHypITE  (-2)  THENA  Auto))

---

Home Index