Step
*
2
of Lemma
iterated-classrel-mem
.....falsecase.....
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [X] : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
(single-valued-classrel(es;X;A)
⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
⇒ (∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
(e1 ≤loc e
⇒ e ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
⇒ R[a;s;f a s]))
⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e2:E.
(e1 ≤loc e
⇒ (e <loc e2)
⇒ e2 ≤loc e'
⇒ a1 ∈ X(e)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
⇒ a2 ∈ X(e2)
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
⇒ R[a1;s1;s2]
⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
⇒ e1 ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e1)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ R[a;v1;v2])))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
(e1 ≤loc e ⇒ e ≤loc e2 ⇒ a ∈ X(e) ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e':E.
(e1 ≤loc e
⇒ (e <loc e')
⇒ e' ≤loc e2
⇒ a1 ∈ X(e)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
⇒ a2 ∈ X(e')
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
⇒ R[a1;s1;s2]
⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
19. e1 ≤loc e2 @i
20. a ∈ X(e1)@i
21. prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ¬↑first(e2)
⊢ R[a;v1;v2]
BY
{ D (-7) }
1
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [X] : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
(single-valued-classrel(es;X;A)
⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
⇒ (∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
(e1 ≤loc e
⇒ e ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
⇒ R[a;s;f a s]))
⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e2:E.
(e1 ≤loc e
⇒ (e <loc e2)
⇒ e2 ≤loc e'
⇒ a1 ∈ X(e)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
⇒ a2 ∈ X(e2)
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
⇒ R[a1;s1;s2]
⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
⇒ e1 ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e1)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ R[a;v1;v2])))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
(e1 ≤loc e ⇒ e ≤loc e2 ⇒ a ∈ X(e) ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e':E.
(e1 ≤loc e
⇒ (e <loc e')
⇒ e' ≤loc e2
⇒ a1 ∈ X(e)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
⇒ a2 ∈ X(e')
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
⇒ R[a1;s1;s2]
⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
19. (e1 <loc e2)@i
20. a ∈ X(e1)@i
21. prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ¬↑first(e2)
⊢ R[a;v1;v2]
2
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [X] : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
(single-valued-classrel(es;X;A)
⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
⇒ (∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
(e1 ≤loc e
⇒ e ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
⇒ R[a;s;f a s]))
⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e2:E.
(e1 ≤loc e
⇒ (e <loc e2)
⇒ e2 ≤loc e'
⇒ a1 ∈ X(e)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
⇒ a2 ∈ X(e2)
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
⇒ R[a1;s1;s2]
⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
⇒ e1 ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e1)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ R[a;v1;v2])))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
(e1 ≤loc e ⇒ e ≤loc e2 ⇒ a ∈ X(e) ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e':E.
(e1 ≤loc e
⇒ (e <loc e')
⇒ e' ≤loc e2
⇒ a1 ∈ X(e)
⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
⇒ a2 ∈ X(e')
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
⇒ R[a1;s1;s2]
⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
19. e1 = e2 ∈ E@i
20. a ∈ X(e1)@i
21. prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ¬↑first(e2)
⊢ R[a;v1;v2]
Latex:
.....falsecase.....
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id {}\mrightarrow{} bag(S)
5. [f] : A {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} S
6. [X] : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} \mBbbP{}@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. \mforall{}e':E
((e' < e2)
{}\mRightarrow{} (\mforall{}v1,v2:S. \mforall{}a:A.
(single-valued-classrel(es;X;A)
{}\mRightarrow{} single-valued-bag(init loc(e1);S)
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{}\mRightarrow{} (\mforall{}a1,a2:A. \mforall{}s1,s2:S. \mforall{}e,e2:E.
(e1 \mleq{}loc e
{}\mRightarrow{} (e <loc e2)
{}\mRightarrow{} e2 \mleq{}loc e'
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{}\mRightarrow{} R[a1;s1;f a2 s2]))
{}\mRightarrow{} e1 \mleq{}loc e'
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{}\mRightarrow{} prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
{}\mRightarrow{} iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
{}\mRightarrow{} R[a;v1;v2])))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. \mforall{}a:A. \mforall{}s:S. \mforall{}e:E.
(e1 \mleq{}loc e
{}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2
{}\mRightarrow{} a \mmember{} X(e)
{}\mRightarrow{} prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
{}\mRightarrow{} R[a;s;f a s])@i
18. \mforall{}a1,a2:A. \mforall{}s1,s2:S. \mforall{}e,e':E.
(e1 \mleq{}loc e
{}\mRightarrow{} (e <loc e')
{}\mRightarrow{} e' \mleq{}loc e2
{}\mRightarrow{} a1 \mmember{} X(e)
{}\mRightarrow{} prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
{}\mRightarrow{} a2 \mmember{} X(e')
{}\mRightarrow{} iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
{}\mRightarrow{} R[a1;s1;s2]
{}\mRightarrow{} R[a1;s1;f a2 s2])@i
19. e1 \mleq{}loc e2 @i
20. a \mmember{} X(e1)@i
21. prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (\mexists{}a:A. (a \mmember{} X(e2) \mwedge{} (v2 = (f a z)))) \mvee{} ((\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e2))) \mwedge{} (v2 = z))@i
25. \mneg{}\muparrow{}first(e2)
\mvdash{} R[a;v1;v2]
By
D (-7)
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