---

Step * 2 1 of Lemma iterated-classrel-mem


1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [X] : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ e ≤loc e' 
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
                  ⇒ R[a;s;f a s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e' 
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ e1 ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
            ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ R[a;v1;v2])))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
      (e1 ≤loc e  ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2 
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
19. (e1 <loc e2)@i
20. a ∈ X(e1)@i
21. prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ¬↑first(e2)
⊢ R[a;v1;v2]
BY
{ (InstHyp [⌈pred(e2)⌉;⌈v1⌉;⌈z⌉;⌈a⌉] (-15)⋅
   THENA (Auto
          THEN Try (Complete ((InstHyp [⌈a1⌉;⌈s⌉;⌈e⌉] (-16)⋅ THEN Auto)))
          THEN Try (Complete ((InstHyp [⌈a1⌉;⌈a2⌉;⌈s1⌉;⌈s2⌉;⌈e⌉;⌈e2@0⌉] (-22)⋅ THEN Auto))))
   ) }

1
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [X] : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ e ≤loc e' 
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
                  ⇒ R[a;s;f a s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e' 
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ e1 ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
            ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ R[a;v1;v2])))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀a:A. ∀s:S. ∀e:E.
      (e1 ≤loc e  ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2 
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
19. (e1 <loc e2)@i
20. a ∈ X(e1)@i
21. prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ¬↑first(e2)
26. R[a;v1;z]
⊢ R[a;v1;v2]

---

Latex:



1.  [Info]  :  Type
2.  [A]  :  Type
3.  [S]  :  Type
4.  [init]  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)
5.  [f]  :  A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S
6.  [X]  :  EClass(A)
7.  es  :  EO+(Info)@i'
8.  R  :  A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
9.  e1  :  E@i
10.  e2  :  E@i
11.  \mforall{}e':E
            ((e'  <  e2)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v1,v2:S.  \mforall{}a:A.
                        (single-valued-classrel(es;X;A)
                        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);S)
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}s:S.  \mforall{}e:E.
                                    (e1  \mleq{}loc  e 
                                    {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e' 
                                    {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                                    {}\mRightarrow{}  prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
                                    {}\mRightarrow{}  R[a;s;f  a  s]))
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a1,a2:A.  \mforall{}s1,s2:S.  \mforall{}e,e2:E.
                                    (e1  \mleq{}loc  e 
                                    {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e2)
                                    {}\mRightarrow{}  e2  \mleq{}loc  e' 
                                    {}\mRightarrow{}  a1  \mmember{}  X(e)
                                    {}\mRightarrow{}  prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
                                    {}\mRightarrow{}  a2  \mmember{}  X(e2)
                                    {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;s2]
                                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;f  a2  s2]))
                        {}\mRightarrow{}  e1  \mleq{}loc  e' 
                        {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e1)
                        {}\mRightarrow{}  prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)
                        {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
                        {}\mRightarrow{}  R[a;v1;v2])))
12.  v1  :  S@i
13.  v2  :  S@i
14.  a  :  A@i
15.  single-valued-classrel(es;X;A)@i
16.  single-valued-bag(init  loc(e1);S)@i
17.  \mforall{}a:A.  \mforall{}s:S.  \mforall{}e:E.
            (e1  \mleq{}loc  e 
            {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
            {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
            {}\mRightarrow{}  prior-iterated-classrel(es;A;S;s;X;f;init;e)
            {}\mRightarrow{}  R[a;s;f  a  s])@i
18.  \mforall{}a1,a2:A.  \mforall{}s1,s2:S.  \mforall{}e,e':E.
            (e1  \mleq{}loc  e 
            {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e')
            {}\mRightarrow{}  e'  \mleq{}loc  e2 
            {}\mRightarrow{}  a1  \mmember{}  X(e)
            {}\mRightarrow{}  prior-iterated-classrel(es;A;S;s1;X;f;init;e)
            {}\mRightarrow{}  a2  \mmember{}  X(e')
            {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e');s2)
            {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;s2]
            {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;f  a2  s2])@i
19.  (e1  <loc  e2)@i
20.  a  \mmember{}  X(e1)@i
21.  prior-iterated-classrel(es;A;S;v1;X;f;init;e1)@i
22.  z  :  S@i
23.  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24.  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e2)  \mwedge{}  (v2  =  (f  a  z))))  \mvee{}  ((\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e2)))  \mwedge{}  (v2  =  z))@i
25.  \mneg{}\muparrow{}first(e2)
\mvdash{}  R[a;v1;v2]


By

(InstHyp  [\mkleeneopen{}pred(e2)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  (-15)\mcdot{}
  THENA  (Auto
                THEN  Try  (Complete  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}a1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]  (-16)\mcdot{}  THEN  Auto)))
                THEN  Try  (Complete  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}a1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e2@0\mkleeneclose{}]  (-22)\mcdot{}  THEN  Auto))))
  )

---

Home Index