---

Step * of Lemma iterated-classrel-progress

∀[Info,A,S:Type].
  ∀init:Id ─→ bag(S). ∀f:A ─→ S ─→ S. ∀X:EClass(A). ∀es:EO+(Info). ∀R:S ─→ S ─→ ℙ. ∀P:A ─→ S ─→ ℙ. ∀e1,e2:E. ∀v1,v2:S.
    (single-valued-classrel(es;X;A)
    ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
    ⇒ (∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s]))
    ⇒ Trans(S;x,y.R[x;y])
    ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
          ((e1 <loc e)
          ⇒ e ≤loc e2 
          ⇒ a ∈ X(e)
          ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
          ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
    ⇒ (e1 <loc e2)
    ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
    ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
    ⇒ (((∃e:E
           ∃s:S
            ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
       ⇒ R[v1;v2])
       ∧ ((∀e:E. ∀s:S.
             ((e1 <loc e)
             ⇒ e ≤loc e2 
             ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
             ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
         ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))
BY
{ ((UnivCD THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-9))
   THEN VrCausalInd'
   THEN (UnivCD THENA Auto)
   THEN RecUnfold `iterated-classrel` (-1)
   THEN ExRepD
   THEN (SplitOnHypITE (-2) THENA Auto)
   THEN Try (Complete ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto)))
   THEN UseLoclTri ⌈es⌉⌈e1⌉⌈pred(e2)⌉⋅) }

1
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. init : Id ─→ bag(S)@i
5. f : A ─→ S ─→ S@i
6. X : EClass(A)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. P : A ─→ S ─→ ℙ@i'
10. e1 : E@i
11. v1 : S@i
12. single-valued-classrel(es;X;A)@i
13. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
14. ∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s])@i
15. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
16. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
17. e2 : E@i
18. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
            ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v2:S
            (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃s:S
                    ((e1 <loc e)
                    ∧ e ≤loc e' 
                    ∧ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                    ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
               ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ∀s:S.
                     ((e1 <loc e)
                     ⇒ e ≤loc e' 
                     ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                     ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
                 ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
19. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e)
      ⇒ e ≤loc e2 
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S))))@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. v2 : S@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ¬↑first(e2)
26. (e1 <loc pred(e2))
⊢ ((∃e:E. ∃s:S. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
  ⇒ (v1 = v2 ∈ S))

2
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. init : Id ─→ bag(S)@i
5. f : A ─→ S ─→ S@i
6. X : EClass(A)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. P : A ─→ S ─→ ℙ@i'
10. e1 : E@i
11. v1 : S@i
12. single-valued-classrel(es;X;A)@i
13. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
14. ∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s])@i
15. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
16. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
17. e2 : E@i
18. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
            ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v2:S
            (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃s:S
                    ((e1 <loc e)
                    ∧ e ≤loc e' 
                    ∧ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                    ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
               ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ∀s:S.
                     ((e1 <loc e)
                     ⇒ e ≤loc e' 
                     ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                     ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
                 ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
19. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e)
      ⇒ e ≤loc e2 
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S))))@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. v2 : S@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ¬↑first(e2)
26. e1 = pred(e2) ∈ E
⊢ ((∃e:E. ∃s:S. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
  ⇒ (v1 = v2 ∈ S))

3
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. init : Id ─→ bag(S)@i
5. f : A ─→ S ─→ S@i
6. X : EClass(A)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. P : A ─→ S ─→ ℙ@i'
10. e1 : E@i
11. v1 : S@i
12. single-valued-classrel(es;X;A)@i
13. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
14. ∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s])@i
15. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
16. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
17. e2 : E@i
18. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
            ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v2:S
            (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃s:S
                    ((e1 <loc e)
                    ∧ e ≤loc e' 
                    ∧ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                    ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
               ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ∀s:S.
                     ((e1 <loc e)
                     ⇒ e ≤loc e' 
                     ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                     ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
                 ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
19. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e)
      ⇒ e ≤loc e2 
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S))))@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. v2 : S@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ¬↑first(e2)
26. (pred(e2) <loc e1)
⊢ ((∃e:E. ∃s:S. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
  ⇒ (v1 = v2 ∈ S))

---

Latex:


\mforall{}[Info,A,S:Type].
    \mforall{}init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(S).  \mforall{}f:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S.  \mforall{}X:EClass(A).  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}R:S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}P:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.
    \mforall{}e1,e2:E.  \mforall{}v1,v2:S.
        (single-valued-classrel(es;X;A)
        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);S)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}s:S.    Dec(P[a;s]))
        {}\mRightarrow{}  Trans(S;x,y.R[x;y])
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
                    ((e1  <loc  e)
                    {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
                    {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                    {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                    {}\mRightarrow{}  ((P[a;s]  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])  \mwedge{}  ((\mneg{}P[a;s])  {}\mRightarrow{}  (s  =  (f  a  s))))))
        {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e2)
        {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
        {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
        {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}e:E
                      \mexists{}s:S
                        ((e1  <loc  e)
                        \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2 
                        \mwedge{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                        \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[a;s]))))
              {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
              \mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
                          ((e1  <loc  e)
                          {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
                          {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  ((\mneg{}a  \mmember{}  X(e))  \mvee{}  (\mneg{}P[a;s])))))
                  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))))


By

((UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-9))
  THEN  VrCausalInd'
  THEN  (UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  RecUnfold  `iterated-classrel`  (-1)
  THEN  ExRepD
  THEN  (SplitOnHypITE  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  Try  (Complete  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)))
  THEN  UseLoclTri  \mkleeneopen{}es\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}pred(e2)\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index