---

Step * 3 of Lemma iterated-classrel-progress


1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. init : Id ─→ bag(S)@i
5. f : A ─→ S ─→ S@i
6. X : EClass(A)@i'
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. P : A ─→ S ─→ ℙ@i'
10. e1 : E@i
11. v1 : S@i
12. single-valued-classrel(es;X;A)@i
13. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
14. ∀a:A. ∀s:S.  Dec(P[a;s])@i
15. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
16. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
17. e2 : E@i
18. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
            ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S)))))
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v2:S
            (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃s:S
                    ((e1 <loc e)
                    ∧ e ≤loc e' 
                    ∧ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                    ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
               ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ∀s:S.
                     ((e1 <loc e)
                     ⇒ e ≤loc e' 
                     ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                     ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
                 ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
19. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e)
      ⇒ e ≤loc e2 
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ S))))@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. v2 : S@i
22. z : S@i
23. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
25. ¬↑first(e2)
26. (pred(e2) <loc e1)
⊢ ((∃e:E. ∃s:S. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ∧ (∃a:A. (a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))))
⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:S.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
  ⇒ (v1 = v2 ∈ S))
BY
{ (Assert ⌈False⌉⋅
   THEN Auto
   THEN (InstLemma `es-pred_property` [⌈es⌉;⌈e2⌉]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (InstHyp [⌈e1⌉] (-1)⋅ THENA Auto)
   THEN D (-1)
   THEN Auto) }

---

Latex:



1.  [Info]  :  Type
2.  [A]  :  Type
3.  [S]  :  Type
4.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)@i
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S@i
6.  X  :  EClass(A)@i'
7.  es  :  EO+(Info)@i'
8.  R  :  S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
9.  P  :  A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
10.  e1  :  E@i
11.  v1  :  S@i
12.  single-valued-classrel(es;X;A)@i
13.  single-valued-bag(init  loc(e1);S)@i
14.  \mforall{}a:A.  \mforall{}s:S.    Dec(P[a;s])@i
15.  Trans(S;x,y.R[x;y])@i
16.  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
17.  e2  :  E@i
18.  \mforall{}e':E
            ((e'  <  e2)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
                        ((e1  <loc  e)
                        {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e' 
                        {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                        {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                        {}\mRightarrow{}  ((P[a;s]  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])  \mwedge{}  ((\mneg{}P[a;s])  {}\mRightarrow{}  (s  =  (f  a  s))))))
            {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e')
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v2:S
                        (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
                        {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}e:E
                                      \mexists{}s:S
                                        ((e1  <loc  e)
                                        \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e' 
                                        \mwedge{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                                        \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[a;s]))))
                              {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
                              \mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
                                          ((e1  <loc  e)
                                          {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e' 
                                          {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
                                          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  ((\mneg{}a  \mmember{}  X(e))  \mvee{}  (\mneg{}P[a;s])))))
                                  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))))))
19.  \mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
            ((e1  <loc  e)
            {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
            {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
            {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
            {}\mRightarrow{}  ((P[a;s]  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])  \mwedge{}  ((\mneg{}P[a;s])  {}\mRightarrow{}  (s  =  (f  a  s)))))@i
20.  (e1  <loc  e2)@i
21.  v2  :  S@i
22.  z  :  S@i
23.  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
24.  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e2)  \mwedge{}  (v2  =  (f  a  z))))  \mvee{}  ((\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e2)))  \mwedge{}  (v2  =  z))@i
25.  \mneg{}\muparrow{}first(e2)
26.  (pred(e2)  <loc  e1)
\mvdash{}  ((\mexists{}e:E
          \mexists{}s:S
            ((e1  <loc  e)
            \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2 
            \mwedge{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
            \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e)  \mwedge{}  P[a;s]))))
{}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
\mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  \mforall{}s:S.
            ((e1  <loc  e)
            {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
            {}\mRightarrow{}  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  ((\mneg{}a  \mmember{}  X(e))  \mvee{}  (\mneg{}P[a;s])))))
    {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))


By

(Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (InstLemma  `es-pred\_property`  [\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index