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of Lemma
iterated-classrel-trans
∀[Info,A,S:Type]. ∀[init:Id ─→ bag(S)]. ∀[f:A ─→ S ─→ S]. ∀[R:S ─→ S ─→ ℙ].
∀X:EClass(A). ∀es:EO+(Info). ∀e1,e2:E. ∀v1,v2:S.
(single-valued-classrel(es;X;A)
⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
⇒ Trans(S;x,y.R[x;y])
⇒ (∀a:A. ∀e:E.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e2
⇒ a ∈ X(e)
⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
⇒ (e1 <loc e2)
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
⇒ iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2 ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2 ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))
BY
{ ((UnivCD THENA Auto)
THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-8))
THEN VrCausalInd'
THEN (UnivCD THENA Auto)
THEN RecUnfold `iterated-classrel` (-1)
THEN ExRepD
THEN (SplitOnHypITE (-2) THENA Auto)
THEN Try (Complete (Auto))
THEN UseLoclTri ⌈es⌉⌈e1⌉⌈pred(e2)⌉⋅) }
1
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [R] : S ─→ S ─→ ℙ
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. v1 : S@i
11. single-valued-classrel(es;X;A)@i
12. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
13. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
14. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
15. e2 : E@i
16. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ (∀a:A. ∀e:E.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e)
⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
⇒ (e1 <loc e')
⇒ (∀v2:S
(iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e' ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e' ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
17. ∀a:A. ∀e:E.
((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2 ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
18. (e1 <loc e2)@i
19. v2 : S@i
20. z : S@i
21. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
22. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
23. ¬↑first(e2)
24. (e1 <loc pred(e2))
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2 ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2 ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))
2
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [R] : S ─→ S ─→ ℙ
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. v1 : S@i
11. single-valued-classrel(es;X;A)@i
12. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
13. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
14. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
15. e2 : E@i
16. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ (∀a:A. ∀e:E.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e)
⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
⇒ (e1 <loc e')
⇒ (∀v2:S
(iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e' ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e' ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
17. ∀a:A. ∀e:E.
((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2 ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
18. (e1 <loc e2)@i
19. v2 : S@i
20. z : S@i
21. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
22. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
23. ¬↑first(e2)
24. e1 = pred(e2) ∈ E
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2 ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2 ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))
3
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [R] : S ─→ S ─→ ℙ
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. v1 : S@i
11. single-valued-classrel(es;X;A)@i
12. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
13. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
14. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
15. e2 : E@i
16. ∀e':E
((e' < e2)
⇒ (∀a:A. ∀e:E.
((e1 <loc e)
⇒ e ≤loc e'
⇒ a ∈ X(e)
⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
⇒ (e1 <loc e')
⇒ (∀v2:S
(iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e' ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e' ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
17. ∀a:A. ∀e:E.
((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2 ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
18. (e1 <loc e2)@i
19. v2 : S@i
20. z : S@i
21. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
22. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
23. ¬↑first(e2)
24. (pred(e2) <loc e1)
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2 ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2 ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))
Latex:
\mforall{}[Info,A,S:Type]. \mforall{}[init:Id {}\mrightarrow{} bag(S)]. \mforall{}[f:A {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} S]. \mforall{}[R:S {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} \mBbbP{}].
\mforall{}X:EClass(A). \mforall{}es:EO+(Info). \mforall{}e1,e2:E. \mforall{}v1,v2:S.
(single-valued-classrel(es;X;A)
{}\mRightarrow{} single-valued-bag(init loc(e1);S)
{}\mRightarrow{} Trans(S;x,y.R[x;y])
{}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. \mforall{}e:E.
((e1 <loc e)
{}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2
{}\mRightarrow{} a \mmember{} X(e)
{}\mRightarrow{} (\mforall{}s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) {}\mRightarrow{} R[s;f a s]))))
{}\mRightarrow{} (e1 <loc e2)
{}\mRightarrow{} iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
{}\mRightarrow{} iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
{}\mRightarrow{} (((\mexists{}e:E. ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc e2 \mwedge{} (\mexists{}a:A. a \mmember{} X(e)))) {}\mRightarrow{} R[v1;v2])
\mwedge{} ((\mforall{}e:E. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2 {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e))))) {}\mRightarrow{} (v1 = v2))))
By
((UnivCD THENA Auto)
THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-8))
THEN VrCausalInd'
THEN (UnivCD THENA Auto)
THEN RecUnfold `iterated-classrel` (-1)
THEN ExRepD
THEN (SplitOnHypITE (-2) THENA Auto)
THEN Try (Complete (Auto))
THEN UseLoclTri \mkleeneopen{}es\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}pred(e2)\mkleeneclose{}\mcdot{})
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