---

Step * 2 of Lemma iterated-classrel-trans


1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [R] : S ─→ S ─→ ℙ
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. v1 : S@i
11. single-valued-classrel(es;X;A)@i
12. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
13. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
14. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
15. e2 : E@i
16. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v2:S
            (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
17. ∀a:A. ∀e:E.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
18. (e1 <loc e2)@i
19. v2 : S@i
20. z : S@i
21. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
22. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
23. ¬↑first(e2)
24. e1 = pred(e2) ∈ E
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))
BY
{ ((RevHypSubst' (-1) (-4) THENA Auto)
   THEN (FLemma `iterated-classrel-single-val` [-11;-4] THENA Auto)
   THEN D (-4)
   THEN ExRepD
   THEN Auto
   THEN ExRepD
   THEN Try (Complete ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto THEN InstHyp [⌈e2⌉;⌈a⌉] (-1)⋅ THEN Auto)))
   THEN Try (Complete ((InstHyp [⌈a⌉;⌈e2⌉;⌈z⌉] (-16)⋅ THEN Auto)))
   THEN Assert ⌈False⌉⋅
   THEN Auto
   THEN (InstHyp [⌈a⌉] (-10)⋅ THENA Auto)
   THEN D (-4)
   THEN Auto) }

1
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. R : S ─→ S ─→ ℙ
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. v1 : S@i
11. single-valued-classrel(es;X;A)@i
12. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
13. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
14. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
15. e2 : E@i
16. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v2:S
            (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
17. ∀a:A. ∀e:E.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
18. (e1 <loc e2)@i
19. v2 : S@i
20. z : S@i
21. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;z)
22. ∀a:A. (¬a ∈ X(e2))@i
23. v2 = z ∈ S@i
24. ¬↑first(e2)
25. e1 = pred(e2) ∈ E
26. v1 = z ∈ S
27. e : E@i
28. (e1 <loc e)@i
29. (e <loc e2)@i
30. a : A@i
31. a ∈ X(e)@i
32. ¬a ∈ X(e2)
⊢ False

---

Latex:



1.  [Info]  :  Type
2.  [A]  :  Type
3.  [S]  :  Type
4.  [init]  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)
5.  [f]  :  A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S
6.  [R]  :  S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  X  :  EClass(A)@i'
8.  es  :  EO+(Info)@i'
9.  e1  :  E@i
10.  v1  :  S@i
11.  single-valued-classrel(es;X;A)@i
12.  single-valued-bag(init  loc(e1);S)@i
13.  Trans(S;x,y.R[x;y])@i
14.  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
15.  e2  :  E@i
16.  \mforall{}e':E
            ((e'  <  e2)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
                        ((e1  <loc  e)
                        {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e' 
                        {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:S.  (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s]))))
            {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e')
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v2:S
                        (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
                        {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}e:E.  ((e1  <loc  e)  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e'    \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  a  \mmember{}  X(e))))  {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
                              \mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  ((e1  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e'    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e)))))  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))))))
17.  \mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
            ((e1  <loc  e)
            {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
            {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:S.  (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])))@i
18.  (e1  <loc  e2)@i
19.  v2  :  S@i
20.  z  :  S@i
21.  iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
22.  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e2)  \mwedge{}  (v2  =  (f  a  z))))  \mvee{}  ((\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e2)))  \mwedge{}  (v2  =  z))@i
23.  \mneg{}\muparrow{}first(e2)
24.  e1  =  pred(e2)
\mvdash{}  ((\mexists{}e:E.  ((e1  <loc  e)  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2    \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  a  \mmember{}  X(e))))  {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
\mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  ((e1  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e)))))  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))


By

((RevHypSubst'  (-1)  (-4)  THENA  Auto)
  THEN  (FLemma  `iterated-classrel-single-val`  [-11;-4]  THENA  Auto)
  THEN  D  (-4)
  THEN  ExRepD
  THEN  Auto
  THEN  ExRepD
  THEN  Try  (Complete  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THEN  Auto)))
  THEN  Try  (Complete  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]  (-16)\mcdot{}  THEN  Auto)))
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  (-10)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  (-4)
  THEN  Auto)

---

Home Index