Proof of Nuprl Lemma : iterated-classrel-trans

Step * 1 1 of Lemma iterated-classrel-trans

1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [R] : S ─→ S ─→ ℙ
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. v1 : S@i
11. single-valued-classrel(es;X;A)@i
12. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
13. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
14. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
15. e2 : E@i
16. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e'
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v2:S
            (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
17. ∀a:A. ∀e:E.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
18. (e1 <loc e2)@i
19. v2 : S@i
20. z : S@i
21. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i

22. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i

23. ¬↑first(e2)
24. (e1 <loc pred(e2))
25. (∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;z]
26. (∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc pred(e2)  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = z ∈ S)
27. ∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))@i
⊢ R[v1;v2]
BY
{ (ExRepD THEN D (-3)) }

1
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [R] : S ─→ S ─→ ℙ
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. v1 : S@i
11. single-valued-classrel(es;X;A)@i
12. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
13. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
14. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
15. e2 : E@i
16. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e'
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v2:S
            (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
17. ∀a:A. ∀e:E.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
18. (e1 <loc e2)@i
19. v2 : S@i
20. z : S@i
21. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i

22. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i

23. ¬↑first(e2)
24. (e1 <loc pred(e2))
25. (∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;z]
26. (∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc pred(e2)  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = z ∈ S)
27. e : E@i
28. (e1 <loc e)@i
29. (e <loc e2)@i
30. a : A@i
31. a ∈ X(e)@i
⊢ R[v1;v2]

2
1. [Info] : Type
2. [A] : Type
3. [S] : Type
4. [init] : Id ─→ bag(S)
5. [f] : A ─→ S ─→ S
6. [R] : S ─→ S ─→ ℙ
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. v1 : S@i
11. single-valued-classrel(es;X;A)@i
12. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
13. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
14. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
15. e2 : E@i
16. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e'
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v2:S
            (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
17. ∀a:A. ∀e:E.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
18. (e1 <loc e2)@i
19. v2 : S@i
20. z : S@i
21. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i

22. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i

Latex:

1. [Info] : Type 2. [A] : Type 3. [S] : Type 4. [init] : Id {}\mrightarrow{} bag(S) 5. [f] : A {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} S 6. [R] : S {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} \mBbbP{} 7. X : EClass(A)@i' 8. es : EO+(Info)@i' 9. e1 : E@i 10. v1 : S@i 11. single-valued-classrel(es;X;A)@i 12. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i 13. Trans(S;x,y.R[x;y])@i 14. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i 15. e2 : E@i 16. \mforall{}e':E ((e' < e2) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. \mforall{}e:E. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e' {}\mRightarrow{} a \mmember{} X(e) {}\mRightarrow{} (\mforall{}s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) {}\mRightarrow{} R[s;f a s])))) {}\mRightarrow{} (e1 <loc e') {}\mRightarrow{} (\mforall{}v2:S (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2) {}\mRightarrow{} (((\mexists{}e:E. ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc e' \mwedge{} (\mexists{}a:A. a \mmember{} X(e)))) {}\mRightarrow{} R[v1;v2]) \mwedge{} ((\mforall{}e:E. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e' {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e))))) {}\mRightarrow{} (v1 = v2)))))) 17. \mforall{}a:A. \mforall{}e:E. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2 {}\mRightarrow{} a \mmember{} X(e) {}\mRightarrow{} (\mforall{}s:S. (iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) {}\mRightarrow{} R[s;f a s])))@i 18. (e1 <loc e2)@i 19. v2 : S@i 20. z : S@i 21. iterated-classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i 22. (\mexists{}a:A. (a \mmember{} X(e2) \mwedge{} (v2 = (f a z)))) \mvee{} ((\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e2))) \mwedge{} (v2 = z))@i 23. \mneg{}\muparrow{}first(e2) 24. (e1 <loc pred(e2)) 25. (\mexists{}e:E. ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc pred(e2) \mwedge{} (\mexists{}a:A. a \mmember{} X(e)))) {}\mRightarrow{} R[v1;z] 26. (\mforall{}e:E. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc pred(e2) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e))))) {}\mRightarrow{} (v1 = z) 27. \mexists{}e:E. ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc e2 \mwedge{} (\mexists{}a:A. a \mmember{} X(e)))@i \mvdash{} R[v1;v2] By (ExRepD THEN D (-3)) Home Index