---

Step * 1 of Lemma iterated_classrel_mem


1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e' 
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ R[a1;s;f a2 s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
                  ((e1 <loc e2)
                  ⇒ a1 ∈ X(e1)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2 
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ R[a1;s;f a2 s])@i
19. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
      ((e1 <loc e2)
      ⇒ a1 ∈ X(e1)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
      ⇒ a2 ∈ X(e2)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. a ∈ X(e1)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))
BY
{ (InstHyp [⌈pred(e2)⌉;⌈v1⌉;⌈z⌉;⌈a⌉] (-17)⋅ THENA (Auto THEN InstHyp [⌈a1⌉;⌈a2⌉;⌈s⌉;⌈e⌉;⌈e2@0⌉] (-21)⋅ THEN Auto)) }

1
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e' 
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ R[a1;s;f a2 s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
                  ((e1 <loc e2)
                  ⇒ a1 ∈ X(e1)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2 
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ R[a1;s;f a2 s])@i
19. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
      ((e1 <loc e2)
      ⇒ a1 ∈ X(e1)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
      ⇒ a2 ∈ X(e2)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. a ∈ X(e1)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
28. ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc pred(e2)  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;z])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc pred(e2)  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = z ∈ S))
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))

---

Latex:



1.  Info  :  Type
2.  A  :  Type
3.  S  :  Type
4.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S
6.  X  :  EClass(A)
7.  es  :  EO+(Info)@i'
8.  R  :  A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
9.  e1  :  E@i
10.  e2  :  E@i
11.  \mforall{}e':E
            ((e'  <  e2)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v1,v2:S.  \mforall{}a:A.
                        (single-valued-classrel(es;X;A)
                        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);S)
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s1,s2:S.  \mforall{}a:A.    SqStable(R[a;s1;s2]))
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a1,a2:A.  \mforall{}s:S.  \mforall{}e,e2:E.
                                    (e1  \mleq{}loc  e 
                                    {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e2)
                                    {}\mRightarrow{}  e2  \mleq{}loc  e' 
                                    {}\mRightarrow{}  a1  \mmember{}  X(e)
                                    {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
                                    {}\mRightarrow{}  a2  \mmember{}  X(e2)
                                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s;f  a2  s]))
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a1,a2:A.  \mforall{}s1,s2:S.  \mforall{}e1,e2:E.
                                    ((e1  <loc  e2)
                                    {}\mRightarrow{}  a1  \mmember{}  X(e1)
                                    {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
                                    {}\mRightarrow{}  a2  \mmember{}  X(e2)
                                    {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;s2]
                                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;f  a2  s2]))
                        {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e')
                        {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e1)
                        {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
                        {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
                        {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}e:E.  ((e1  <loc  e)  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e'    \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  a  \mmember{}  X(e))))  {}\mRightarrow{}  R[a;v1;v2])
                              \mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  ((e1  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e'    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e)))))  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))))))
12.  v1  :  S@i
13.  v2  :  S@i
14.  a  :  A@i
15.  single-valued-classrel(es;X;A)@i
16.  single-valued-bag(init  loc(e1);S)@i
17.  \mforall{}s1,s2:S.  \mforall{}a:A.    SqStable(R[a;s1;s2])@i
18.  \mforall{}a1,a2:A.  \mforall{}s:S.  \mforall{}e,e':E.
            (e1  \mleq{}loc  e 
            {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e')
            {}\mRightarrow{}  e'  \mleq{}loc  e2 
            {}\mRightarrow{}  a1  \mmember{}  X(e)
            {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
            {}\mRightarrow{}  a2  \mmember{}  X(e')
            {}\mRightarrow{}  R[a1;s;f  a2  s])@i
19.  \mforall{}a1,a2:A.  \mforall{}s1,s2:S.  \mforall{}e1,e2:E.
            ((e1  <loc  e2)
            {}\mRightarrow{}  a1  \mmember{}  X(e1)
            {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
            {}\mRightarrow{}  a2  \mmember{}  X(e2)
            {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
            {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;s2]
            {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;f  a2  s2])@i
20.  (e1  <loc  e2)@i
21.  a  \mmember{}  X(e1)@i
22.  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23.  z  :  S@i
24.  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25.  (\mexists{}a:A.  (a  \mmember{}  X(e2)  \mwedge{}  (v2  =  (f  a  z))))  \mvee{}  ((\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e2)))  \mwedge{}  (v2  =  z))@i
26.  \mneg{}\muparrow{}first(e2)
27.  (e1  <loc  pred(e2))
\mvdash{}  ((\mexists{}e:E.  ((e1  <loc  e)  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2    \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  a  \mmember{}  X(e))))  {}\mRightarrow{}  R[a;v1;v2])
\mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  ((e1  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e)))))  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))


By

(InstHyp  [\mkleeneopen{}pred(e2)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]  (-17)\mcdot{}
  THENA  (Auto  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}a1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e2@0\mkleeneclose{}]  (-21)\mcdot{}  THEN  Auto)
  )

---

Home Index