---

Step * of Lemma iterated_classrel_mem

∀[Info,A,S:Type]. ∀[init:Id ─→ bag(S)]. ∀[f:A ─→ S ─→ S]. ∀[X:EClass(A)].
  ∀es:EO+(Info). ∀R:A ─→ S ─→ S ─→ ℙ. ∀e1,e2:E. ∀v1,v2:S. ∀a:A.
    (single-valued-classrel(es;X;A)
    ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
    ⇒ (∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2]))
    ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e':E.
          (e1 ≤loc e 
          ⇒ (e <loc e')
          ⇒ e' ≤loc e2 
          ⇒ a1 ∈ X(e)
          ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
          ⇒ a2 ∈ X(e')
          ⇒ R[a1;s;f a2 s]))
    ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
          ((e1 <loc e2)
          ⇒ a1 ∈ X(e1)
          ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
          ⇒ a2 ∈ X(e2)
          ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
          ⇒ R[a1;s1;s2]
          ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
    ⇒ (e1 <loc e2)
    ⇒ a ∈ X(e1)
    ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
    ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
    ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
       ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))
BY
{ (RepeatFor 9 ((D 0 THENA Auto))
   THEN VrCausalInd'
   THEN (UnivCD THENA Auto)
   THEN RecUnfold `iterated_classrel` (-1)
   THEN TrySquashExRepD (-1)
   THEN (SplitOnHypITE (-2) THENA Auto)
   THEN Try (Complete ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto)))
   THEN UseEsLoclTri ⌈es⌉⌈e1⌉⌈pred(e2)⌉⋅
   THEN D (-1)) }

1
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e' 
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ R[a1;s;f a2 s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
                  ((e1 <loc e2)
                  ⇒ a1 ∈ X(e1)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2 
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ R[a1;s;f a2 s])@i
19. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
      ((e1 <loc e2)
      ⇒ a1 ∈ X(e1)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
      ⇒ a2 ∈ X(e2)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. a ∈ X(e1)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 <loc pred(e2))
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))

2
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e 
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e' 
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ R[a1;s;f a2 s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
                  ((e1 <loc e2)
                  ⇒ a1 ∈ X(e1)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2 
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ R[a1;s;f a2 s])@i
19. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
      ((e1 <loc e2)
      ⇒ a1 ∈ X(e1)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
      ⇒ a2 ∈ X(e2)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. a ∈ X(e1)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
26. ¬↑first(e2)
27. (e1 = pred(e2) ∈ E) ∨ (pred(e2) <loc e1)
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))

---

Latex:


\mforall{}[Info,A,S:Type].  \mforall{}[init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)].  \mforall{}[f:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S].  \mforall{}[X:EClass(A)].
    \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}R:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}e1,e2:E.  \mforall{}v1,v2:S.  \mforall{}a:A.
        (single-valued-classrel(es;X;A)
        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);S)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s1,s2:S.  \mforall{}a:A.    SqStable(R[a;s1;s2]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a1,a2:A.  \mforall{}s:S.  \mforall{}e,e':E.
                    (e1  \mleq{}loc  e 
                    {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e')
                    {}\mRightarrow{}  e'  \mleq{}loc  e2 
                    {}\mRightarrow{}  a1  \mmember{}  X(e)
                    {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
                    {}\mRightarrow{}  a2  \mmember{}  X(e')
                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s;f  a2  s]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a1,a2:A.  \mforall{}s1,s2:S.  \mforall{}e1,e2:E.
                    ((e1  <loc  e2)
                    {}\mRightarrow{}  a1  \mmember{}  X(e1)
                    {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
                    {}\mRightarrow{}  a2  \mmember{}  X(e2)
                    {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;s2]
                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;f  a2  s2]))
        {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e2)
        {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e1)
        {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
        {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
        {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}e:E.  ((e1  <loc  e)  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2    \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  a  \mmember{}  X(e))))  {}\mRightarrow{}  R[a;v1;v2])
              \mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  ((e1  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e)))))  {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))))


By

(RepeatFor  9  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  VrCausalInd'
  THEN  (UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  RecUnfold  `iterated\_classrel`  (-1)
  THEN  TrySquashExRepD  (-1)
  THEN  (SplitOnHypITE  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  Try  (Complete  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)))
  THEN  UseEsLoclTri  \mkleeneopen{}es\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}pred(e2)\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  D  (-1))

---

Home Index