Proof of Nuprl Lemma : iterated_classrel

Step * 2 of Lemma iterated_classrel_mem

1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e'
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ R[a1;s;f a2 s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
                  ((e1 <loc e2)
                  ⇒ a1 ∈ X(e1)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ R[a1;s;f a2 s])@i
19. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
      ((e1 <loc e2)
      ⇒ a1 ∈ X(e1)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
      ⇒ a2 ∈ X(e2)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. a ∈ X(e1)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i

25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i

26. ¬↑first(e2)
27. (e1 = pred(e2) ∈ E) ∨ (pred(e2) <loc e1)
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))
BY
{ D (-1) }

1
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e'
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ R[a1;s;f a2 s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
                  ((e1 <loc e2)
                  ⇒ a1 ∈ X(e1)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ R[a1;s;f a2 s])@i
19. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
      ((e1 <loc e2)
      ⇒ a1 ∈ X(e1)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
      ⇒ a2 ∈ X(e2)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. a ∈ X(e1)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i

25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i

26. ¬↑first(e2)
27. e1 = pred(e2) ∈ E
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))

2
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. R : A ─→ S ─→ S ─→ ℙ@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:S. ∀a:A.
            (single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
            ⇒ (∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e2:E.
                  (e1 ≤loc e
                  ⇒ (e <loc e2)
                  ⇒ e2 ≤loc e'
                  ⇒ a1 ∈ X(e)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ R[a1;s;f a2 s]))
            ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
                  ((e1 <loc e2)
                  ⇒ a1 ∈ X(e1)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
                  ⇒ a2 ∈ X(e2)
                  ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
                  ⇒ R[a1;s1;s2]
                  ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ a ∈ X(e1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
12. v1 : S@i
13. v2 : S@i
14. a : A@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. ∀s1,s2:S. ∀a:A.  SqStable(R[a;s1;s2])@i
18. ∀a1,a2:A. ∀s:S. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ e' ≤loc e2
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ R[a1;s;f a2 s])@i
19. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:S. ∀e1,e2:E.
      ((e1 <loc e2)
      ⇒ a1 ∈ X(e1)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1)
      ⇒ a2 ∈ X(e2)
      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2)
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. a ∈ X(e1)@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
23. z : S@i
24. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i

25. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i

26. ¬↑first(e2)
27. (pred(e2) <loc e1)
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2 ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[a;v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2 ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))

Latex:

1. Info : Type 2. A : Type 3. S : Type 4. init : Id {}\mrightarrow{} bag(S) 5. f : A {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} S 6. X : EClass(A) 7. es : EO+(Info)@i' 8. R : A {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} S {}\mrightarrow{} \mBbbP{}@i' 9. e1 : E@i 10. e2 : E@i 11. \mforall{}e':E ((e' < e2) {}\mRightarrow{} (\mforall{}v1,v2:S. \mforall{}a:A. (single-valued-classrel(es;X;A) {}\mRightarrow{} single-valued-bag(init loc(e1);S) {}\mRightarrow{} (\mforall{}s1,s2:S. \mforall{}a:A. SqStable(R[a;s1;s2])) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a1,a2:A. \mforall{}s:S. \mforall{}e,e2:E. (e1 \mleq{}loc e {}\mRightarrow{} (e <loc e2) {}\mRightarrow{} e2 \mleq{}loc e' {}\mRightarrow{} a1 \mmember{} X(e) {}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s) {}\mRightarrow{} a2 \mmember{} X(e2) {}\mRightarrow{} R[a1;s;f a2 s])) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a1,a2:A. \mforall{}s1,s2:S. \mforall{}e1,e2:E. ((e1 <loc e2) {}\mRightarrow{} a1 \mmember{} X(e1) {}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1) {}\mRightarrow{} a2 \mmember{} X(e2) {}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2) {}\mRightarrow{} R[a1;s1;s2] {}\mRightarrow{} R[a1;s1;f a2 s2])) {}\mRightarrow{} (e1 <loc e') {}\mRightarrow{} a \mmember{} X(e1) {}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1) {}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2) {}\mRightarrow{} (((\mexists{}e:E. ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc e' \mwedge{} (\mexists{}a:A. a \mmember{} X(e)))) {}\mRightarrow{} R[a;v1;v2]) \mwedge{} ((\mforall{}e:E. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e' {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e))))) {}\mRightarrow{} (v1 = v2)))))) 12. v1 : S@i 13. v2 : S@i 14. a : A@i 15. single-valued-classrel(es;X;A)@i 16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i 17. \mforall{}s1,s2:S. \mforall{}a:A. SqStable(R[a;s1;s2])@i 18. \mforall{}a1,a2:A. \mforall{}s:S. \mforall{}e,e':E. (e1 \mleq{}loc e {}\mRightarrow{} (e <loc e') {}\mRightarrow{} e' \mleq{}loc e2 {}\mRightarrow{} a1 \mmember{} X(e) {}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e;s) {}\mRightarrow{} a2 \mmember{} X(e') {}\mRightarrow{} R[a1;s;f a2 s])@i 19. \mforall{}a1,a2:A. \mforall{}s1,s2:S. \mforall{}e1,e2:E. ((e1 <loc e2) {}\mRightarrow{} a1 \mmember{} X(e1) {}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;s1) {}\mRightarrow{} a2 \mmember{} X(e2) {}\mRightarrow{} iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);s2) {}\mRightarrow{} R[a1;s1;s2] {}\mRightarrow{} R[a1;s1;f a2 s2])@i 20. (e1 <loc e2)@i 21. a \mmember{} X(e1)@i 22. iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i 23. z : S@i 24. iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i 25. (\mexists{}a:A. (a \mmember{} X(e2) \mwedge{} (v2 = (f a z)))) \mvee{} ((\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e2))) \mwedge{} (v2 = z))@i 26. \mneg{}\muparrow{}first(e2) 27. (e1 = pred(e2)) \mvee{} (pred(e2) <loc e1) \mvdash{} ((\mexists{}e:E. ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc e2 \mwedge{} (\mexists{}a:A. a \mmember{} X(e)))) {}\mRightarrow{} R[a;v1;v2]) \mwedge{} ((\mforall{}e:E. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2 {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. (\mneg{}a \mmember{} X(e))))) {}\mRightarrow{} (v1 = v2)) By D (-1) Home Index