---

Step * of Lemma iterated_classrel_trans3

∀[Info,A,S:Type]. ∀[init:Id ─→ bag(S)]. ∀[f:A ─→ S ─→ S]. ∀[X:EClass(A)].
  ∀es:EO+(Info)
    (single-valued-classrel(es;X;A)
    ⇒ (∀[R:S ─→ S ─→ ℙ]
          ((∀x,y:S.  SqStable(R[x;y]))
          ⇒ Trans(S;x,y.R[x;y])
          ⇒ (∀e1,e2:E.
                ((∀a:A. ∀e:E.
                    ((e1 <loc e)
                    ⇒ e ≤loc e2 
                    ⇒ a ∈ X(e)
                    ⇒ (∀s:S. (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
                ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
                ⇒ (e1 <loc e2)
                ⇒ (∀v1,v2:S.
                      (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
                      ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
                      ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
                         ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))))))
BY
{ ((UnivCD THENA Auto)
   THEN RepeatFor 8 (MoveToConcl (-1))
   THEN VrCausalInd'
   THEN (UnivCD THENA Auto)
   THEN RecUnfold `iterated_classrel` (-1)
   THEN TrySquashExRepD (-1)
   THEN (SplitOnHypITE (-2) THENA Auto)
   THEN Try (Complete ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto)))) }

1
.....falsecase..... 
1. Info : Type
2. A : Type
3. S : Type
4. init : Id ─→ bag(S)
5. f : A ─→ S ─→ S
6. X : EClass(A)
7. es : EO+(Info)@i'
8. single-valued-classrel(es;X;A)@i
9. R : S ─→ S ─→ ℙ
10. ∀x,y:S.  SqStable(R[x;y])@i
11. Trans(S;x,y.R[x;y])@i
12. e1 : E@i
13. e2 : E@i
14. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
            ((e1 <loc e)
            ⇒ e ≤loc e' 
            ⇒ a ∈ X(e)
            ⇒ (∀s:S. (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s]))))
      ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);S)
      ⇒ (e1 <loc e')
      ⇒ (∀v1,v2:S.
            (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
            ⇒ iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e';v2)
            ⇒ (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e'  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))))))
15. ∀a:A. ∀e:E.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:S. (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s) ⇒ R[s;f a s])))@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);S)@i
17. (e1 <loc e2)@i
18. v1 : S@i
19. v2 : S@i
20. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)@i
21. z : S@i
22. iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e2);z)@i
23. (∃a:A. (a ∈ X(e2) ∧ (v2 = (f a z) ∈ S))) ∨ ((∀a:A. (¬a ∈ X(e2))) ∧ (v2 = z ∈ S))@i
24. ¬↑first(e2)
⊢ ((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e)))) ⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ (∀a:A. (¬a ∈ X(e))))) ⇒ (v1 = v2 ∈ S))

---

Latex:


\mforall{}[Info,A,S:Type].  \mforall{}[init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)].  \mforall{}[f:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S].  \mforall{}[X:EClass(A)].
    \mforall{}es:EO+(Info)
        (single-valued-classrel(es;X;A)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[R:S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
                    ((\mforall{}x,y:S.    SqStable(R[x;y]))
                    {}\mRightarrow{}  Trans(S;x,y.R[x;y])
                    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e1,e2:E.
                                ((\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
                                        ((e1  <loc  e)
                                        {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
                                        {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:S.  (iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s]))))
                                {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);S)
                                {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e2)
                                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v1,v2:S.
                                            (iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
                                            {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
                                            {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}e:E.  ((e1  <loc  e)  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2    \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  a  \mmember{}  X(e))))  {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
                                                  \mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  ((e1  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e)))))
                                                      {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))))))))))


By

((UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  8  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  VrCausalInd'
  THEN  (UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  RecUnfold  `iterated\_classrel`  (-1)
  THEN  TrySquashExRepD  (-1)
  THEN  (SplitOnHypITE  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  Try  (Complete  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto))))

---

Home Index