Nuprl Lemma : iterated_classrel_trans3

[Info,A,S:Type]. ∀[init:Id ─→ bag(S)]. ∀[f:A ─→ S ─→ S]. ∀[X:EClass(A)].
  ∀es:EO+(Info)
    (single-valued-classrel(es;X;A)
     (∀[R:S ─→ S ─→ ℙ]
          ((∀x,y:S.  SqStable(R[x;y]))
           Trans(S;x,y.R[x;y])
           (∀e1,e2:E.
                ((∀a:A. ∀e:E.
                    ((e1 <loc e)
                     e ≤loc e2 
                     a ∈ X(e)
                     (∀s:S. (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)  R[s;f s]))))
                 single-valued-bag(init loc(e1);S)
                 (e1 <loc e2)
                 (∀v1,v2:S.
                      (iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
                       iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
                       (((∃e:E. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ (∃a:A. a ∈ X(e))))  R[v1;v2])
                         ∧ ((∀e:E. ((e1 <loc e)  e ≤loc e2   (∀a:A. a ∈ X(e)))))  (v1 v2 ∈ S))))))))))


Proof




Definitions occuring in Statement :  iterated_classrel: iterated_classrel(es;S;A;f;init;X;e;v) single-valued-classrel: single-valued-classrel(es;X;T) classrel: v ∈ X(e) eclass: EClass(A[eo; e]) event-ordering+: EO+(Info) es-le: e ≤loc e'  es-locl: (e <loc e') es-pred: pred(e) es-loc: loc(e) es-E: E Id: Id trans: Trans(T;x,y.E[x; y]) sq_stable: SqStable(P) uall: [x:A]. B[x] prop: so_apply: x[s1;s2] all: x:A. B[x] exists: x:A. B[x] not: ¬A implies:  Q and: P ∧ Q apply: a function: x:A ─→ B[x] universe: Type equal: t ∈ T single-valued-bag: single-valued-bag(b;T) bag: bag(T)
Lemmas :  es-locl-trichotomy event-ordering+_subtype es-pred_wf es-loc-pred es-pred-locl es-causl_weakening es-locl_transitivity1 es-le_weakening iterated_classrel_wf assert_elim es-first_wf2 es-locl-first btrue_neq_bfalse assert_wf classrel_wf es-le_wf es-locl_wf es-E_wf exists_wf all_wf not_wf es-le-pred es-le-self and_wf equal_wf member_wf decidable__exists-classrel-between3 decidable__exists-single-valued-classrel squash_wf iterated_classrel-single-val true_wf event-ordering+_wf eclass_wf Id_wf bag_wf iff_weakening_equal es-pred_property es-locl_transitivity2 es-le_weakening_eq es-locl_irreflexivity es-causl_transitivity2 es-causle_weakening es-causl_irreflexivity
\mforall{}[Info,A,S:Type].  \mforall{}[init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(S)].  \mforall{}[f:A  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  S].  \mforall{}[X:EClass(A)].
    \mforall{}es:EO+(Info)
        (single-valued-classrel(es;X;A)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[R:S  {}\mrightarrow{}  S  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
                    ((\mforall{}x,y:S.    SqStable(R[x;y]))
                    {}\mRightarrow{}  Trans(S;x,y.R[x;y])
                    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e1,e2:E.
                                ((\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
                                        ((e1  <loc  e)
                                        {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
                                        {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:S.  (iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;pred(e);s)  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s]))))
                                {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);S)
                                {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e2)
                                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v1,v2:S.
                                            (iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e1;v1)
                                            {}\mRightarrow{}  iterated\_classrel(es;S;A;f;init;X;e2;v2)
                                            {}\mRightarrow{}  (((\mexists{}e:E.  ((e1  <loc  e)  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2    \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  a  \mmember{}  X(e))))  {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])
                                                  \mwedge{}  ((\mforall{}e:E.  ((e1  <loc  e)  {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  (\mneg{}a  \mmember{}  X(e)))))
                                                      {}\mRightarrow{}  (v1  =  v2))))))))))



Date html generated: 2015_07_17-PM-00_24_40
Last ObjectModification: 2015_02_04-PM-05_37_57

Home Index