---

Step * 1 2 3 2 2 of Lemma member-fpf-vals


1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. [B] : A ─→ Type
4. P : A ─→ 𝔹@i
5. d : A List@i
6. f1 : x:{x:A| (x ∈ d)}  ─→ B[x]@i
7. x : A@i
8. v : B[x]@i
9. u : A@i
10. v1 : A List@i
11. ∀g:x:{x:A| (x ∈ v1)}  ─→ B[x]
      ((<x, v> ∈ zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1)))) ⇐⇒ {((↑x ∈b v1)) ∧ (↑(P x))) ∧ (v = (g x) ∈ B[x])})@i
12. g : x:{x:A| (x ∈ [u / v1])}  ─→ B[x]@i
13. (<x, v> ∈ zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1)))) ⇐⇒ {((↑x ∈b v1)) ∧ (↑(P x))) ∧ (v = (g x) ∈ B[x])}
14. (u ∈ [u / v1])
15. zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1))) ∈ (x:A × B[x]) List
⊢ (<x, v> ∈ zip(if P u then [u / filter(P;v1)] else filter(P;v1) fi ;map(g;if P u
                                                                         then [u / filter(P;v1)]
                                                                         else filter(P;v1)
                                                                         fi )))
⇐⇒ {((↑((eq u x) ∨bx ∈b v1))) ∧ (↑(P x))) ∧ (v = (g x) ∈ B[x])}
BY
{ ((SplitOnConclITE THENA Auto) THEN Reduce 0) }

1
1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. [B] : A ─→ Type
4. P : A ─→ 𝔹@i
5. d : A List@i
6. f1 : x:{x:A| (x ∈ d)}  ─→ B[x]@i
7. x : A@i
8. v : B[x]@i
9. u : A@i
10. v1 : A List@i
11. ∀g:x:{x:A| (x ∈ v1)}  ─→ B[x]
      ((<x, v> ∈ zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1)))) ⇐⇒ {((↑x ∈b v1)) ∧ (↑(P x))) ∧ (v = (g x) ∈ B[x])})@i
12. g : x:{x:A| (x ∈ [u / v1])}  ─→ B[x]@i
13. (<x, v> ∈ zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1)))) ⇐⇒ {((↑x ∈b v1)) ∧ (↑(P x))) ∧ (v = (g x) ∈ B[x])}
14. (u ∈ [u / v1])
15. zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1))) ∈ (x:A × B[x]) List
16. ↑(P u)
⊢ (<x, v> ∈ [<u, g u> / zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1)))])
⇐⇒ {((↑((eq u x) ∨bx ∈b v1))) ∧ (↑(P x))) ∧ (v = (g x) ∈ B[x])}

2
.....falsecase..... 
1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. [B] : A ─→ Type
4. P : A ─→ 𝔹@i
5. d : A List@i
6. f1 : x:{x:A| (x ∈ d)}  ─→ B[x]@i
7. x : A@i
8. v : B[x]@i
9. u : A@i
10. v1 : A List@i
11. ∀g:x:{x:A| (x ∈ v1)}  ─→ B[x]
      ((<x, v> ∈ zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1)))) ⇐⇒ {((↑x ∈b v1)) ∧ (↑(P x))) ∧ (v = (g x) ∈ B[x])})@i
12. g : x:{x:A| (x ∈ [u / v1])}  ─→ B[x]@i
13. (<x, v> ∈ zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1)))) ⇐⇒ {((↑x ∈b v1)) ∧ (↑(P x))) ∧ (v = (g x) ∈ B[x])}
14. (u ∈ [u / v1])
15. zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1))) ∈ (x:A × B[x]) List
16. ¬↑(P u)
⊢ (<x, v> ∈ zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1)))) ⇐⇒ {((↑((eq u x) ∨bx ∈b v1))) ∧ (↑(P x))) ∧ (v = (g x) ∈ B[x])}

---

Latex:



1.  [A]  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(A)@i
3.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
4.  P  :  A  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
5.  d  :  A  List@i
6.  f1  :  x:\{x:A|  (x  \mmember{}  d)\}    {}\mrightarrow{}  B[x]@i
7.  x  :  A@i
8.  v  :  B[x]@i
9.  u  :  A@i
10.  v1  :  A  List@i
11.  \mforall{}g:x:\{x:A|  (x  \mmember{}  v1)\}    {}\mrightarrow{}  B[x]
            ((<x,  v>  \mmember{}  zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1))))
            \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \{((\muparrow{}x  \mmember{}\msubb{}  v1))  \mwedge{}  (\muparrow{}(P  x)))  \mwedge{}  (v  =  (g  x))\})@i
12.  g  :  x:\{x:A|  (x  \mmember{}  [u  /  v1])\}    {}\mrightarrow{}  B[x]@i
13.  (<x,  v>  \mmember{}  zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1))))  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \{((\muparrow{}x  \mmember{}\msubb{}  v1))  \mwedge{}  (\muparrow{}(P  x)))  \mwedge{}  (v  =  (g  x))\}
14.  (u  \mmember{}  [u  /  v1])
15.  zip(filter(P;v1);map(g;filter(P;v1)))  \mmember{}  (x:A  \mtimes{}  B[x])  List
\mvdash{}  (<x,  v>  \mmember{}  zip(if  P  u  then  [u  /  filter(P;v1)]  else  filter(P;v1)  fi  ;map(g;if  P  u
                                                                                                                                                  then  [u  /  filter(P;v1)]
                                                                                                                                                  else  filter(P;v1)
                                                                                                                                                  fi  )))
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \{((\muparrow{}((eq  u  x)  \mvee{}\msubb{}x  \mmember{}\msubb{}  v1)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(P  x)))  \mwedge{}  (v  =  (g  x))\}


By

((SplitOnConclITE  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index