---

Step * 3 1 1 1 1 of Lemma three-cs-no-repeated-votes


1. V : Type@i'
2. A : Id List@i
3. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
4. t : ℕ+@i
5. f : (V List) ─→ V@i
6. s : ts-reachable(three-consensus-ts(V;A;t;f))@i
7. y : ts-reachable(three-consensus-ts(V;A;t;f))@i
8. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . no_repeats(consensus-rcv(V;A);filter(λx.rcv-vote?(x);s a))@i
9. a1 : {a:Id| (a ∈ A)} @i
10. a ∈ Id
11. e : consensus-rcv(V;A)@i
12. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ∀i:ℕ. ∀v:V.
      ((e = Vote[b;i;v] ∈ consensus-rcv(V;A))
      ⇒ ((∃L:consensus-rcv(V;A) List. (L ≤ s b ∧ archive-condition(V;A;t;f;i;v;L))) ∧ (¬(e ∈ s a))))@i
13. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ((¬(b = a ∈ Id)) ⇒ ((y b) = (s b) ∈ (consensus-rcv(V;A) List)))@i
14. (y a) = ((s a) @ [e]) ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
15. no_repeats(consensus-rcv(V;A);filter(λx.rcv-vote?(x);s a))
⊢ no_repeats(consensus-rcv(V;A);filter(λx.rcv-vote?(x);y a))
BY
{ ((Assert y ∈ {a:Id| (a ∈ A)}  ─→ (consensus-rcv(V;A) List) BY
          (DVar `y' THEN OnMaybeHyp 7 (\h. (RepUR ``ts-type three-consensus-ts`` h THEN Trivial))))
   THEN (Assert s ∈ {a:Id| (a ∈ A)}  ─→ (consensus-rcv(V;A) List) BY
               (DVar `s' THEN OnMaybeHyp 6 (\h. (RepUR ``ts-type three-consensus-ts`` h THEN Trivial))))
   THEN HypSubst' (-4) 0) }

1
1. V : Type@i'
2. A : Id List@i
3. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
4. t : ℕ+@i
5. f : (V List) ─→ V@i
6. s : ts-reachable(three-consensus-ts(V;A;t;f))@i
7. y : ts-reachable(three-consensus-ts(V;A;t;f))@i
8. ∀a:{a:Id| (a ∈ A)} . no_repeats(consensus-rcv(V;A);filter(λx.rcv-vote?(x);s a))@i
9. a1 : {a:Id| (a ∈ A)} @i
10. a ∈ Id
11. e : consensus-rcv(V;A)@i
12. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ∀i:ℕ. ∀v:V.
      ((e = Vote[b;i;v] ∈ consensus-rcv(V;A))
      ⇒ ((∃L:consensus-rcv(V;A) List. (L ≤ s b ∧ archive-condition(V;A;t;f;i;v;L))) ∧ (¬(e ∈ s a))))@i
13. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ((¬(b = a ∈ Id)) ⇒ ((y b) = (s b) ∈ (consensus-rcv(V;A) List)))@i
14. (y a) = ((s a) @ [e]) ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
15. no_repeats(consensus-rcv(V;A);filter(λx.rcv-vote?(x);s a))
16. y ∈ {a:Id| (a ∈ A)}  ─→ (consensus-rcv(V;A) List)
17. s ∈ {a:Id| (a ∈ A)}  ─→ (consensus-rcv(V;A) List)
⊢ no_repeats(consensus-rcv(V;A);filter(λx.rcv-vote?(x);(s a) @ [e]))

---

Latex:



1.  V  :  Type@i'
2.  A  :  Id  List@i
3.  a  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
4.  t  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
5.  f  :  (V  List)  {}\mrightarrow{}  V@i
6.  s  :  ts-reachable(three-consensus-ts(V;A;t;f))@i
7.  y  :  ts-reachable(three-consensus-ts(V;A;t;f))@i
8.  \mforall{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  no\_repeats(consensus-rcv(V;A);filter(\mlambda{}x.rcv-vote?(x);s  a))@i
9.  a1  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
10.  a  \mmember{}  Id
11.  e  :  consensus-rcv(V;A)@i
12.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  \mforall{}i:\mBbbN{}.  \mforall{}v:V.
            ((e  =  Vote[b;i;v])
            {}\mRightarrow{}  ((\mexists{}L:consensus-rcv(V;A)  List.  (L  \mleq{}  s  b  \mwedge{}  archive-condition(V;A;t;f;i;v;L)))
                  \mwedge{}  (\mneg{}(e  \mmember{}  s  a))))@i
13.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  ((\mneg{}(b  =  a))  {}\mRightarrow{}  ((y  b)  =  (s  b)))@i
14.  (y  a)  =  ((s  a)  @  [e])@i
15.  no\_repeats(consensus-rcv(V;A);filter(\mlambda{}x.rcv-vote?(x);s  a))
\mvdash{}  no\_repeats(consensus-rcv(V;A);filter(\mlambda{}x.rcv-vote?(x);y  a))


By

((Assert  y  \mmember{}  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    {}\mrightarrow{}  (consensus-rcv(V;A)  List)  BY
                (DVar  `y'  THEN  OnMaybeHyp  7  (\mbackslash{}h.  (RepUR  ``ts-type  three-consensus-ts``  h  THEN  Trivial))))
  THEN  (Assert  s  \mmember{}  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    {}\mrightarrow{}  (consensus-rcv(V;A)  List)  BY
                          (DVar  `s'
                            THEN  OnMaybeHyp  6  (\mbackslash{}h.  (RepUR  ``ts-type  three-consensus-ts``  h  THEN  Trivial))
                            ))
  THEN  HypSubst'  (-4)  0)

---

Home Index