---

Step * of Lemma combine-antecedent-surjections

∀es:EO
  ∀[A,B,P,Q:E ─→ ℙ].
    ((∀e:E. Dec(P e))
       ⇒ (∀e:E. Dec(A e))
       ⇒ (∀e:E. Dec(B e))
       ⇒ (∀f:{e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} . ∀g:{e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} .
             (P ←←─ f── A
             ⇒ Q ←←─ g── B
             ⇒ (∃h:{e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
                  (λe.((P e) ∨ (Q e)) ←←─ h── λe.((A e) ∨ (B e))
                  ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E)))
                  ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . (h e) = (g e) ∈ E supposing ¬(A e))))))) supposing 
       ((∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))) and 
       (∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))))
BY
{ Auto }

1
1. es : EO@i'
2. [A] : E ─→ ℙ
3. [B] : E ─→ ℙ
4. [P] : E ─→ ℙ
5. [Q] : E ─→ ℙ
6. ∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))
7. ∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))
8. ∀e:E. Dec(P e)@i
9. ∀e:E. Dec(A e)@i
10. ∀e:E. Dec(B e)@i
11. f : {e:E| A e}  ─→ {e:E| P e} @i
12. g : {e:E| B e}  ─→ {e:E| Q e} @i
13. P ←←─ f── A@i
14. Q ←←─ g── B@i
⊢ ∃h:{e:E| (A e) ∨ (B e)}  ─→ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
   (λe.((P e) ∨ (Q e)) ←←─ h── λe.((A e) ∨ (B e))
   ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) ⇒ ((h e) = (f e) ∈ E)))
   ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . (h e) = (g e) ∈ E supposing ¬(A e)))

---

Latex:


\mforall{}es:EO
    \mforall{}[A,B,P,Q:E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
        ((\mforall{}e:E.  Dec(P  e))
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:E.  Dec(A  e))
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:E.  Dec(B  e))
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{e:E|  A  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  P  e\}  .  \mforall{}g:\{e:E|  B  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q  e\}  .
                          (P  \mleftarrow{}\mleftarrow{}{}  f{}{}  A
                          {}\mRightarrow{}  Q  \mleftarrow{}\mleftarrow{}{}  g{}{}  B
                          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  (P  e)  \mvee{}  (Q  e)\} 
                                    (\mlambda{}e.((P  e)  \mvee{}  (Q  e))  \mleftarrow{}\mleftarrow{}{}  h{}{}  \mlambda{}e.((A  e)  \mvee{}  (B  e))
                                    \mwedge{}  (\mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  ((A  e)  {}\mRightarrow{}  ((h  e)  =  (f  e))))
                                    \mwedge{}  (\mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  (h  e)  =  (g  e)  supposing  \mneg{}(A  e)))))))  supposing 
              ((\mforall{}e:E.  (\mneg{}((P  e)  \mwedge{}  (Q  e))))  and 
              (\mforall{}e:E.  (\mneg{}((A  e)  \mwedge{}  (B  e)))))


By

Auto

---

Home Index