---

Step * 1 1 2 1 2 1 1 of Lemma decidable__alle-lt


1. es : EO@i'
2. WellFnd{i'}(E;x,y.(x <loc y))
3. j : E@i
4. ∀k:E. ((k <loc j) ⇒ (∀[P:{e:E| loc(e) = loc(k) ∈ Id}  ─→ ℙ]. (∀e@loc(k).Dec(P[e]) ⇒ Dec(∀e<k.P[e]))))@i'
5. [P] : {e:E| loc(e) = loc(j) ∈ Id}  ─→ ℙ
6. ∀e:E. ((loc(e) = loc(j) ∈ Id) ⇒ Dec(P[e]))@i
7. ¬↑first(j)
8. ∀[P:{e:E| loc(e) = loc(pred(j)) ∈ Id}  ─→ ℙ]. (∀e@loc(pred(j)).Dec(P[e]) ⇒ Dec(∀e<pred(j).P[e]))
9. Dec(∀e<pred(j).P[e])
10. Dec(P[pred(j)])
11. Dec((¬False) ⇒ (P[pred(j)] ∧ ∀e<pred(j).P[e]))
⊢ Dec(P[pred(j)] ∧ ∀e<pred(j).P[e] supposing ¬False)
BY
{ (Assert pred(j) ∈ {e:E| loc(e) = loc(j) ∈ Id}  BY
         Auto) }

1
1. es : EO@i'
2. WellFnd{i'}(E;x,y.(x <loc y))
3. j : E@i
4. ∀k:E. ((k <loc j) ⇒ (∀[P:{e:E| loc(e) = loc(k) ∈ Id}  ─→ ℙ]. (∀e@loc(k).Dec(P[e]) ⇒ Dec(∀e<k.P[e]))))@i'
5. [P] : {e:E| loc(e) = loc(j) ∈ Id}  ─→ ℙ
6. ∀e:E. ((loc(e) = loc(j) ∈ Id) ⇒ Dec(P[e]))@i
7. ¬↑first(j)
8. ∀[P:{e:E| loc(e) = loc(pred(j)) ∈ Id}  ─→ ℙ]. (∀e@loc(pred(j)).Dec(P[e]) ⇒ Dec(∀e<pred(j).P[e]))
9. Dec(∀e<pred(j).P[e])
10. Dec(P[pred(j)])
11. Dec((¬False) ⇒ (P[pred(j)] ∧ ∀e<pred(j).P[e]))
12. pred(j) ∈ {e:E| loc(e) = loc(j) ∈ Id} 
⊢ Dec(P[pred(j)] ∧ ∀e<pred(j).P[e] supposing ¬False)

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  WellFnd\{i'\}(E;x,y.(x  <loc  y))
3.  j  :  E@i
4.  \mforall{}k:E
          ((k  <loc  j)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[P:\{e:E|  loc(e)  =  loc(k)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  (\mforall{}e@loc(k).Dec(P[e])  {}\mRightarrow{}  Dec(\mforall{}e<k.P[e]))))@i'
5.  [P]  :  \{e:E|  loc(e)  =  loc(j)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  \mforall{}e:E.  ((loc(e)  =  loc(j))  {}\mRightarrow{}  Dec(P[e]))@i
7.  \mneg{}\muparrow{}first(j)
8.  \mforall{}[P:\{e:E|  loc(e)  =  loc(pred(j))\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  (\mforall{}e@loc(pred(j)).Dec(P[e])  {}\mRightarrow{}  Dec(\mforall{}e<pred(j).P[e]))
9.  Dec(\mforall{}e<pred(j).P[e])
10.  Dec(P[pred(j)])
11.  Dec((\mneg{}False)  {}\mRightarrow{}  (P[pred(j)]  \mwedge{}  \mforall{}e<pred(j).P[e]))
\mvdash{}  Dec(P[pred(j)]  \mwedge{}  \mforall{}e<pred(j).P[e]  supposing  \mneg{}False)


By

(Assert  pred(j)  \mmember{}  \{e:E|  loc(e)  =  loc(j)\}    BY
              Auto)

---

Home Index