---

Step * 1 2 2 of Lemma previous-event-exists


1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. [R] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
4. WellFnd{i}(E;x,y.(x <loc y))
5. j : E@i
6. ∀k:E
     ((k <loc j)
     ⇒ (∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id)
     ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ R[e']))
        ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc k  ⇒ (¬R[e''])))))) 
        supposing loc(k) = i ∈ Id)@i
7. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
8. loc(j) = i ∈ Id
9. ∃e':E. (e' ≤loc j  c∧ R[e'])@i
10. ¬R[j]
11. ¬↑first(j)
⊢ ∃e':E. (e' ≤loc j  c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc j  ⇒ (¬R[e''])))))
BY
{ ((InstHyp [⌈pred(j)⌉] 6)⋅ THENA Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. [R] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
4. WellFnd{i}(E;x,y.(x <loc y))
5. j : E@i
6. ∀k:E
     ((k <loc j)
     ⇒ (∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id)
     ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ R[e']))
        ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc k  ⇒ (¬R[e''])))))) 
        supposing loc(k) = i ∈ Id)@i
7. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
8. loc(j) = i ∈ Id
9. ∃e':E. (e' ≤loc j  c∧ R[e'])@i
10. ¬R[j]
11. ¬↑first(j)
⊢ ∃e':E. (e' ≤loc pred(j)  c∧ R[e'])

2
1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. [R] : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ─→ ℙ
4. WellFnd{i}(E;x,y.(x <loc y))
5. j : E@i
6. ∀k:E
     ((k <loc j)
     ⇒ (∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id)
     ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ R[e']))
        ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc k  ⇒ (¬R[e''])))))) 
        supposing loc(k) = i ∈ Id)@i
7. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
8. loc(j) = i ∈ Id
9. ∃e':E. (e' ≤loc j  c∧ R[e'])@i
10. ¬R[j]
11. ¬↑first(j)
12. ∃e':E. (e' ≤loc pred(j)  c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc pred(j)  ⇒ (¬R[e''])))))
⊢ ∃e':E. (e' ≤loc j  c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc j  ⇒ (¬R[e''])))))

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  i  :  Id@i
3.  [R]  :  \{e:E|  loc(e)  =  i\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  WellFnd\{i\}(E;x,y.(x  <loc  y))
5.  j  :  E@i
6.  \mforall{}k:E
          ((k  <loc  j)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:E.  Dec(R[e])  supposing  loc(e)  =  i)
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E.  (e'  \mleq{}loc  k    c\mwedge{}  R[e']))
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E.  (e'  \mleq{}loc  k    c\mwedge{}  (R[e']  \mwedge{}  (\mforall{}e'':E.  ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  k    {}\mRightarrow{}  (\mneg{}R[e''])))))) 
                supposing  loc(k)  =  i)@i
7.  \mforall{}e:E.  Dec(R[e])  supposing  loc(e)  =  i@i
8.  loc(j)  =  i
9.  \mexists{}e':E.  (e'  \mleq{}loc  j    c\mwedge{}  R[e'])@i
10.  \mneg{}R[j]
11.  \mneg{}\muparrow{}first(j)
\mvdash{}  \mexists{}e':E.  (e'  \mleq{}loc  j    c\mwedge{}  (R[e']  \mwedge{}  (\mforall{}e'':E.  ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  j    {}\mRightarrow{}  (\mneg{}R[e''])))))


By

((InstHyp  [\mkleeneopen{}pred(j)\mkleeneclose{}]  6)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index