---

Step * 2 3 of Lemma st-lookup-property


1. [T] : Id ─→ Type
2. K : ℕ@i
3. t2 : ℕ@i
4. t3 : ℕK ─→ (Atom1 × ℕ + Atom1 × data(T))@i
5. x : Atom1@i
6. v : ℕ@i
7. mu(λn.(t2 <z n ∨bK ≤z n ∨bfst((t3 n)) =a1 x)) = v ∈ ℕ@i
8. (↑(t2 <z mu(λn.(t2 <z n ∨bK ≤z n ∨bfst((t3 n)) =a1 x))
∨bK ≤z mu(λn.(t2 <z n ∨bK ≤z n ∨bfst((t3 n)) =a1 x))
∨bfst((t3 mu(λn.(t2 <z n ∨bK ≤z n ∨bfst((t3 n)) =a1 x)))) =a1 x))
∧ (∀[i:ℕ]. ¬↑(t2 <z i ∨bK ≤z i ∨bfst((t3 i)) =a1 x) supposing i < mu(λn.(t2 <z n ∨bK ≤z n ∨bfst((t3 n)) =a1 x)))
⊢ ↑isl(let n = v in
           if t2 <z n ∨bK ≤z n then inr ⋅  else inl (snd((t3 n))) fi )
⇐⇒ ∃n:ℕK. ((n ≤ t2) ∧ ((fst((t3 n))) = x ∈ Atom1))
BY
{ HypSubst' (-2) (-1) ⋅ }

1
1. [T] : Id ─→ Type
2. K : ℕ@i
3. t2 : ℕ@i
4. t3 : ℕK ─→ (Atom1 × ℕ + Atom1 × data(T))@i
5. x : Atom1@i
6. v : ℕ@i
7. mu(λn.(t2 <z n ∨bK ≤z n ∨bfst((t3 n)) =a1 x)) = v ∈ ℕ@i
8. (↑(t2 <z v ∨bK ≤z v ∨bfst((t3 v)) =a1 x)) ∧ (∀[i:ℕ]. ¬↑(t2 <z i ∨bK ≤z i ∨bfst((t3 i)) =a1 x) supposing i < v)
⊢ ↑isl(let n = v in
           if t2 <z n ∨bK ≤z n then inr ⋅  else inl (snd((t3 n))) fi )
⇐⇒ ∃n:ℕK. ((n ≤ t2) ∧ ((fst((t3 n))) = x ∈ Atom1))

---

Latex:



1.  [T]  :  Id  {}\mrightarrow{}  Type
2.  K  :  \mBbbN{}@i
3.  t2  :  \mBbbN{}@i
4.  t3  :  \mBbbN{}K  {}\mrightarrow{}  (Atom1  \mtimes{}  \mBbbN{}  +  Atom1  \mtimes{}  data(T))@i
5.  x  :  Atom1@i
6.  v  :  \mBbbN{}@i
7.  mu(\mlambda{}n.(t2  <z  n  \mvee{}\msubb{}K  \mleq{}z  n  \mvee{}\msubb{}fst((t3  n))  =a1  x))  =  v@i
8.  (\muparrow{}(t2  <z  mu(\mlambda{}n.(t2  <z  n  \mvee{}\msubb{}K  \mleq{}z  n  \mvee{}\msubb{}fst((t3  n))  =a1  x))
\mvee{}\msubb{}K  \mleq{}z  mu(\mlambda{}n.(t2  <z  n  \mvee{}\msubb{}K  \mleq{}z  n  \mvee{}\msubb{}fst((t3  n))  =a1  x))
\mvee{}\msubb{}fst((t3  mu(\mlambda{}n.(t2  <z  n  \mvee{}\msubb{}K  \mleq{}z  n  \mvee{}\msubb{}fst((t3  n))  =a1  x))))  =a1  x))
\mwedge{}  (\mforall{}[i:\mBbbN{}]
          \mneg{}\muparrow{}(t2  <z  i  \mvee{}\msubb{}K  \mleq{}z  i  \mvee{}\msubb{}fst((t3  i))  =a1  x) 
          supposing  i  <  mu(\mlambda{}n.(t2  <z  n  \mvee{}\msubb{}K  \mleq{}z  n  \mvee{}\msubb{}fst((t3  n))  =a1  x)))
\mvdash{}  \muparrow{}isl(let  n  =  v  in
                      if  t2  <z  n  \mvee{}\msubb{}K  \mleq{}z  n  then  inr  \mcdot{}    else  inl  (snd((t3  n)))  fi  )
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}n:\mBbbN{}K.  ((n  \mleq{}  t2)  \mwedge{}  ((fst((t3  n)))  =  x))


By

HypSubst'  (-2)  (-1)  \mcdot{}

---

Home Index