---

Step * 1 of Lemma weak-antecedent-conditional


1. es : EO@i'
2. [P1] : E ─→ ℙ
3. [Q1] : E ─→ ℙ
4. [P2] : E ─→ ℙ
5. [Q2] : E ─→ ℙ
6. dcd_P1 : e:E ─→ Dec(P1 e)@i
7. f : {e:E| P1 e}  ─→ {e:E| Q1 e} @i
8. g : {e:E| P2 e}  ─→ {e:E| Q2 e} @i
9. Q1 ←==f== P1@i
10. Q2 ←==g== P2@i
⊢ λe.((Q1 e) ∨ (Q2 e)) ←==[P1? f : g]== λe.((P1 e) ∨ (P2 e))
BY
{ ((All (Unfold `weak-antecedent-function`) THEN Reduce 0) THEN Auto) }

1
1. es : EO@i'
2. [P1] : E ─→ ℙ
3. [Q1] : E ─→ ℙ
4. [P2] : E ─→ ℙ
5. [Q2] : E ─→ ℙ
6. dcd_P1 : e:E ─→ Dec(P1 e)@i
7. f : {e:E| P1 e}  ─→ {e:E| Q1 e} @i
8. g : {e:E| P2 e}  ─→ {e:E| Q2 e} @i
9. ∀e:{e:E| P1 e} . (f e c≤ e ∧ (Q1 (f e)))@i
10. ∀e:{e:E| P2 e} . (g e c≤ e ∧ (Q2 (g e)))@i
11. e : {e:E| (P1 e) ∨ (P2 e)} @i
⊢ [P1? f : g] e c≤ e

2
1. es : EO@i'
2. [P1] : E ─→ ℙ
3. [Q1] : E ─→ ℙ
4. [P2] : E ─→ ℙ
5. [Q2] : E ─→ ℙ
6. dcd_P1 : e:E ─→ Dec(P1 e)@i
7. f : {e:E| P1 e}  ─→ {e:E| Q1 e} @i
8. g : {e:E| P2 e}  ─→ {e:E| Q2 e} @i
9. ∀e:{e:E| P1 e} . (f e c≤ e ∧ (Q1 (f e)))@i
10. ∀e:{e:E| P2 e} . (g e c≤ e ∧ (Q2 (g e)))@i
11. e : {e:E| (P1 e) ∨ (P2 e)} @i
12. [P1? f : g] e c≤ e
⊢ (Q1 ([P1? f : g] e)) ∨ (Q2 ([P1? f : g] e))

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  [P1]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [Q1]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  [P2]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  [Q2]  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  dcd$_{P1}$  :  e:E  {}\mrightarrow{}  Dec(P1  e)@i
7.  f  :  \{e:E|  P1  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q1  e\}  @i
8.  g  :  \{e:E|  P2  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q2  e\}  @i
9.  Q1  \mleftarrow{}==f==  P1@i
10.  Q2  \mleftarrow{}==g==  P2@i
\mvdash{}  \mlambda{}e.((Q1  e)  \mvee{}  (Q2  e))  \mleftarrow{}==[P1?  f  :  g]==  \mlambda{}e.((P1  e)  \mvee{}  (P2  e))


By

((All  (Unfold  `weak-antecedent-function`)  THEN  Reduce  0)  THEN  Auto)

---

Home Index