---

Step * 2 1 2 1 3 1 1 of Lemma weak-antecedent-surjection-conditional


1. es : EO@i'
2. P1 : E ─→ ℙ
3. Q1 : E ─→ ℙ
4. P2 : E ─→ ℙ
5. Q2 : E ─→ ℙ
6. dcd_P1 : e:E ─→ Dec(P1 e)@i
7. f : {e:E| P1 e}  ─→ {e:E| Q1 e} @i
8. g : {e:E| P2 e}  ─→ {e:E| Q2 e} @i
9. ∀e:E. ((P1 e) ⇒ (¬(P2 e)))
10. ∀e:E. Dec(Q1 e)@i
11. ∀e:E. Dec(Q2 e)@i
12. Q1 ←==f== P1@i
13. ∀e:{e:E| Q1 e} . ∃e':{e:E| P1 e} . ((f e') = e ∈ E)@i
14. Q2 ←==g== P2@i
15. ∀e:{e:E| Q2 e} . ∃e':{e:E| P2 e} . ((g e') = e ∈ E)@i
16. e : E@i
17. Q2 e
18. e' : {e:E| P2 e} 
19. (g e') = e ∈ E
20. e1 : {e:E| (P1 e) ∨ (P2 e)} 
21. Dec(P1 e1)
⊢ [P1? f : g] e1 ∈ E
BY
{ ((Unfold `decidable` -1 THEN OnVar `e1' D⋅) THEN D -1) }

1
1. es : EO@i'
2. P1 : E ─→ ℙ
3. Q1 : E ─→ ℙ
4. P2 : E ─→ ℙ
5. Q2 : E ─→ ℙ
6. dcd_P1 : e:E ─→ Dec(P1 e)@i
7. f : {e:E| P1 e}  ─→ {e:E| Q1 e} @i
8. g : {e:E| P2 e}  ─→ {e:E| Q2 e} @i
9. ∀e:E. ((P1 e) ⇒ (¬(P2 e)))
10. ∀e:E. Dec(Q1 e)@i
11. ∀e:E. Dec(Q2 e)@i
12. Q1 ←==f== P1@i
13. ∀e:{e:E| Q1 e} . ∃e':{e:E| P1 e} . ((f e') = e ∈ E)@i
14. Q2 ←==g== P2@i
15. ∀e:{e:E| Q2 e} . ∃e':{e:E| P2 e} . ((g e') = e ∈ E)@i
16. e : E@i
17. Q2 e
18. e' : {e:E| P2 e} 
19. (g e') = e ∈ E
20. e1 : E
21. (P1 e1) ∨ (P2 e1)
22. P1 e1
⊢ [P1? f : g] e1 ∈ E

2
1. es : EO@i'
2. P1 : E ─→ ℙ
3. Q1 : E ─→ ℙ
4. P2 : E ─→ ℙ
5. Q2 : E ─→ ℙ
6. dcd_P1 : e:E ─→ Dec(P1 e)@i
7. f : {e:E| P1 e}  ─→ {e:E| Q1 e} @i
8. g : {e:E| P2 e}  ─→ {e:E| Q2 e} @i
9. ∀e:E. ((P1 e) ⇒ (¬(P2 e)))
10. ∀e:E. Dec(Q1 e)@i
11. ∀e:E. Dec(Q2 e)@i
12. Q1 ←==f== P1@i
13. ∀e:{e:E| Q1 e} . ∃e':{e:E| P1 e} . ((f e') = e ∈ E)@i
14. Q2 ←==g== P2@i
15. ∀e:{e:E| Q2 e} . ∃e':{e:E| P2 e} . ((g e') = e ∈ E)@i
16. e : E@i
17. Q2 e
18. e' : {e:E| P2 e} 
19. (g e') = e ∈ E
20. e1 : E
21. (P1 e1) ∨ (P2 e1)
22. ¬(P1 e1)
⊢ [P1? f : g] e1 ∈ E

---

Latex:



1.  es  :  EO@i'
2.  P1  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  Q1  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  P2  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  Q2  :  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  dcd$_{P1}$  :  e:E  {}\mrightarrow{}  Dec(P1  e)@i
7.  f  :  \{e:E|  P1  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q1  e\}  @i
8.  g  :  \{e:E|  P2  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q2  e\}  @i
9.  \mforall{}e:E.  ((P1  e)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(P2  e)))
10.  \mforall{}e:E.  Dec(Q1  e)@i
11.  \mforall{}e:E.  Dec(Q2  e)@i
12.  Q1  \mleftarrow{}==f==  P1@i
13.  \mforall{}e:\{e:E|  Q1  e\}  .  \mexists{}e':\{e:E|  P1  e\}  .  ((f  e')  =  e)@i
14.  Q2  \mleftarrow{}==g==  P2@i
15.  \mforall{}e:\{e:E|  Q2  e\}  .  \mexists{}e':\{e:E|  P2  e\}  .  ((g  e')  =  e)@i
16.  e  :  E@i
17.  Q2  e
18.  e'  :  \{e:E|  P2  e\} 
19.  (g  e')  =  e
20.  e1  :  \{e:E|  (P1  e)  \mvee{}  (P2  e)\} 
21.  Dec(P1  e1)
\mvdash{}  [P1?  f  :  g]  e1  \mmember{}  E


By

((Unfold  `decidable`  -1  THEN  OnVar  `e1'  D\mcdot{})  THEN  D  -1)

---

Home Index