Step
*
1
2
1
1
1
2
of Lemma
pv11_p1_A5_C2
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. accpts : bag(Id)@i
14. ldrs : bag(Id)@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. reps : bag(Id)@i
17. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
18. s : ℤ@i
19. p : Cmd@i
20. p' : Cmd@i
21. as : bag(Id)@i
22. cs : bag(Id)@i
23. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
24. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
25. accpts = (as + cs) ∈ bag(Id)@i
26. #(as) < pv11_p1_threshold(accpts)@i
27. ∀a:Id
      (a ↓∈ cs 
⇒ (↓∃e':E. ((a = loc(e') ∈ Id) ∧ (<b, s, p> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))))))@i
28. e : E@i
29. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      
⇒ (∀b':pv11_p1_Ballot_Num()
            ((↑(b  < b'))
            
⇒ (∀l,i:Id.
                  (((<b', s, p'> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1)))
                  ∨ pv11_p1_p2a'send(Cmd;f) i <l, b', s, p'> ∈ pv11_p1_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;f)(e1))
                  
⇒ (p = p' ∈ Cmd))))))
30. b' : pv11_p1_Ballot_Num()@i
31. ↑(b  < b')@i
32. l : Id@i
33. i : Id@i
34. loc(e) ↓∈ ldrs
35. i ↓∈ accpts
36. 0 = 0 ∈ ℤ
37. ff = pv11_p1_init_active()
38. l = loc(e) ∈ Id
39. header(e) = [propose] ∈ Name
40. has-es-info-type(es;e;f;ℤ × Cmd)
41. ↑(fst(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))))
42. ¬↑(pv11_p1_in_domain(Cmd) (fst(msgval(e))) (snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))))
43. b' = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
44. <s, p'> = msgval(e) ∈ (ℤ × Cmd)
45. e' : E
46. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List
47. (e' <loc e)
48. <fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)), pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e')
49. (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))
= (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))
∈ pv11_p1_Ballot_Num()
50. L : E List
51. #([i∈accpts|¬bi ∈b map(λe.loc(e);L))]) < pv11_p1_threshold(accpts)
52. ∀pv:pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd
      ((pv ∈ pvals) 
⇐⇒ (pv ∈ concat(map(λe.(snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)));L))))
53. ∀e1:E
      ((e1 ∈ L)
      
⇒ ((e1 < e')
         ∧ loc(e1) ↓∈ accpts
         ∧ ((fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))
           = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1)))
           ∈ pv11_p1_Ballot_Num())))
54. i1 : Id
55. v : E
56. v ↓∈ L
57. i1 = loc(v) ∈ Id
58. i1 ↓∈ cs
59. e1 : E
60. i1 = loc(e1) ∈ Id
61. (<b, s, p> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1)))
62. (v < e')
63. loc(v) ↓∈ accpts
64. (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))
= (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;v)))
∈ pv11_p1_Ballot_Num()
65. b' = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;v))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
66. (v <loc e1)
67. e2 : E
68. l1 : Id
69. e2 ≤loc e1 
70. <l1, b, s, p> ∈ pv11_p1_p2a'base(Cmd;f)(e2)
71. b = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e2))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
72. ∀e'':E. (e2 ≤loc e''  
⇒ e'' ≤loc e1  
⇒ (<b, s, p> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e''))))
73. (v <loc e2)
⊢ ↓(<b, s, p> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;v)))
BY
{ ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto)
   THEN (InstLemma `pv11_p1_inc_acc_bnum_fun` [⌈Cmd⌉;⌈f⌉;⌈es⌉;⌈v⌉;⌈e2⌉;⌈ldrs_uid⌉]⋅ THENA Auto)
   THEN RevHypSubst' (-10) (-1)
   THEN RevHypSubst' (-4) (-1)⋅
   THEN (FLemma `pv11_p1_lt_bnum_trans1` [31;-1] THENA Auto)
   THEN FLemma `pv11_p1_lt_bnum_irrefl2` [-1]
   THEN Auto) }
Latex:
Latex:
1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  accpts  :  bag(Id)@i
14.  ldrs  :  bag(Id)@i
15.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
16.  reps  :  bag(Id)@i
17.  b  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
18.  s  :  \mBbbZ{}@i
19.  p  :  Cmd@i
20.  p'  :  Cmd@i
21.  as  :  bag(Id)@i
22.  cs  :  bag(Id)@i
23.  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\000C$;  reps;  f;  es)@i
24.  Inj(Id;\mBbbZ{};ldrs$_{uid}$)@i
25.  accpts  =  (as  +  cs)@i
26.  \#(as)  <  pv11\_p1\_threshold(accpts)@i
27.  \mforall{}a:Id
            (a  \mdownarrow{}\mmember{}  cs
            {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}e':E
                        ((a  =  loc(e'))  \mwedge{}  (<b,  s,  p>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid\mbackslash{}ff\000C7d$;f;es;e'))))))@i
28.  e  :  E@i
29.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}b':pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                        ((\muparrow{}(b    <  b'))
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}l,i:Id.
                                    (((<b',  s,  p'>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$\000C;f;es;e1)))
                                    \mvee{}  pv11\_p1\_p2a'send(Cmd;f)  i  <l,  b',  s,  p'>  \mmember{}  pv11\_p1\_main(Cmd;accpts;ldrs;ldrs\mbackslash{}ff2\000C4_{uid}$;reps;f)(e1))
                                    {}\mRightarrow{}  (p  =  p'))))))
30.  b'  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
31.  \muparrow{}(b    <  b')@i
32.  l  :  Id@i
33.  i  :  Id@i
34.  loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  ldrs
35.  i  \mdownarrow{}\mmember{}  accpts
36.  0  =  0
37.  ff  =  pv11\_p1\_init\_active()
38.  l  =  loc(e)
39.  header(e)  =  [propose]
40.  has-es-info-type(es;e;f;\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
41.  \muparrow{}(fst(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e))))
42.  \mneg{}\muparrow{}(pv11\_p1\_in\_domain(Cmd)  (fst(msgval(e))) 
              (snd(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))))
43.  b'  =  (fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))
44.  <s,  p'>  =  msgval(e)
45.  e'  :  E
46.  pvals  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List
47.  (e'  <loc  e)
48.  <fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)),  pvals>  \mmember{}  pv11\_p1\_adop\000Cted'base(Cmd;f)(e')
49.  (fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))
=  (fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e')))
50.  L  :  E  List
51.  \#([i\mmember{}accpts|\mneg{}\msubb{}i  \mmember{}\msubb{}  map(\mlambda{}e.loc(e);L))])  <  pv11\_p1\_threshold(accpts)
52.  \mforall{}pv:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd
            ((pv  \mmember{}  pvals)
            \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (pv  \mmember{}  concat(map(\mlambda{}e.(snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;e\000Cs;e)));L))))
53.  \mforall{}e1:E
            ((e1  \mmember{}  L)
            {}\mRightarrow{}  ((e1  <  e')
                  \mwedge{}  loc(e1)  \mdownarrow{}\mmember{}  accpts
                  \mwedge{}  ((fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))
                      =  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e1))))))
54.  i1  :  Id
55.  v  :  E
56.  v  \mdownarrow{}\mmember{}  L
57.  i1  =  loc(v)
58.  i1  \mdownarrow{}\mmember{}  cs
59.  e1  :  E
60.  i1  =  loc(e1)
61.  (<b,  s,  p>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e1)))
62.  (v  <  e')
63.  loc(v)  \mdownarrow{}\mmember{}  accpts
64.  (fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))
=  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;v)))
65.  b'  =  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;v)))
66.  (v  <loc  e1)
67.  e2  :  E
68.  l1  :  Id
69.  e2  \mleq{}loc  e1 
70.  <l1,  b,  s,  p>  \mmember{}  pv11\_p1\_p2a'base(Cmd;f)(e2)
71.  b  =  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e2)))
72.  \mforall{}e'':E
            (e2  \mleq{}loc  e'' 
            {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  e1 
            {}\mRightarrow{}  (<b,  s,  p>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e''))))
73.  (v  <loc  e2)
\mvdash{}  \mdownarrow{}(<b,  s,  p>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;v)))
By
Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  (InstLemma  `pv11\_p1\_inc\_acc\_bnum\_fun`  [\mkleeneopen{}Cmd\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}ldrs$_{uid}\mbackslash{}ff\000C24\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RevHypSubst'  (-10)  (-1)
  THEN  RevHypSubst'  (-4)  (-1)\mcdot{}
  THEN  (FLemma  `pv11\_p1\_lt\_bnum\_trans1`  [31;-1]  THENA  Auto)
  THEN  FLemma  `pv11\_p1\_lt\_bnum\_irrefl2`  [-1]
  THEN  Auto)
Home
Index