---

Step * 1 of Lemma pv11_p1_acc_state_from_p2a


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
15. v1 : pv11_p1_Ballot_Num()@i
16. v2 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
17. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
18. s : ℤ@i
19. c : Cmd@i
20. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
21. <v1, v2> ∈ pv11_p1_AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;f)(e)@i
22. (<b, s, c> ∈ v2)@i
⊢ ↓∃e':E
    ∃l:Id
     (e' ≤loc e 
     ∧ <l, b, s, c> ∈ pv11_p1_p2a'base(Cmd;f)(e')
     ∧ (b = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
     ∧ (∀e'':E. (e' ≤loc e''  ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ (<b, s, c> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e''))))))
BY
{ (RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN RepeatFor 5 (MoveToConcl (-2))
   THEN MoveToConcl (-3)
   THEN CausalInd'
   THEN (UnivCD THENA Auto)) }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
14. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
15. e : E@i
16. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (∀v1:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀v2:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List. ∀b:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀s:ℤ. ∀c:Cmd.
            (<v1, v2> ∈ pv11_p1_AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;f)(e1)
            ⇒ (<b, s, c> ∈ v2)
            ⇒ (↓∃e':E
                  ∃l:Id
                   (e' ≤loc e1 
                   ∧ <l, b, s, c> ∈ pv11_p1_p2a'base(Cmd;f)(e')
                   ∧ (b = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
                   ∧ (∀e'':E
                        (e' ≤loc e'' 
                        ⇒ e'' ≤loc e1 
                        ⇒ (<b, s, c> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e''))))))))))
17. v1 : pv11_p1_Ballot_Num()@i
18. v2 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
19. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
20. s : ℤ@i
21. c : Cmd@i
22. <v1, v2> ∈ pv11_p1_AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;f)(e)@i
23. (<b, s, c> ∈ v2)@i
⊢ ↓∃e':E
    ∃l:Id
     (e' ≤loc e 
     ∧ <l, b, s, c> ∈ pv11_p1_p2a'base(Cmd;f)(e')
     ∧ (b = (fst(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
     ∧ (∀e'':E. (e' ≤loc e''  ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ (<b, s, c> ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e''))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  e  :  E@i
14.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
15.  v1  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
16.  v2  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
17.  b  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
18.  s  :  \mBbbZ{}@i
19.  c  :  Cmd@i
20.  Inj(Id;\mBbbZ{};ldrs$_{uid}$)@i
21.  <v1,  v2>  \mmember{}  pv11\_p1\_AcceptorState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e)@i
22.  (<b,  s,  c>  \mmember{}  v2)@i
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}e':E
        \mexists{}l:Id
          (e'  \mleq{}loc  e 
          \mwedge{}  <l,  b,  s,  c>  \mmember{}  pv11\_p1\_p2a'base(Cmd;f)(e')
          \mwedge{}  (b  =  (fst(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e'))))
          \mwedge{}  (\mforall{}e'':E
                    (e'  \mleq{}loc  e'' 
                    {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  e 
                    {}\mRightarrow{}  (<b,  s,  c>  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e''\000C))))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  RepeatFor  5  (MoveToConcl  (-2))
  THEN  MoveToConcl  (-3)
  THEN  CausalInd'
  THEN  (UnivCD  THENA  Auto))

---

Home Index