---

Step * of Lemma pv11_p1_adopted_from_init_or_preempted

∀Cmd:ValueAllType. ∀f:pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd). ∀es:EO+(Message(f)). ∀e:E. ∀accpts,ldrs:bag(Id).
∀ldrs_uid:Id ─→ ℤ. ∀reps:bag(Id). ∀bnum:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List.
  (pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)
  ⇒ <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e)
  ⇒ (↓(bnum = (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e)) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
       ∨ (∃e':E
           ∃bnum1,bnum2:pv11_p1_Ballot_Num()
            ∃b:𝔹
             ∃proposals:(ℤ × Cmd) List
              ((e' <loc e)
              ∧ bnum1 ∈ pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(e')
              ∧ <bnum2, b, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e')
              ∧ (↑(bnum2  < bnum1))
              ∧ (bnum = (pv11_p1_upd_bnum() bnum1 loc(e)) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())))))
BY
{ (StartEmlProof THEN (UseMessageConstraint (-1) THENA Auto) THEN SquashExRepD THEN DProdsAndUnions) }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. accpts : bag(Id)@i
15. ldrs : bag(Id)@i
16. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
17. reps : bag(Id)@i
18. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
21. <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e)@i
22. e' : E
23. delay : ℤ
24. (e' < e)
25. loc(e') ↓∈ ldrs
26. (no ((pv11_p1_scout_output(Cmd;accpts;f) (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) o pv11_p1_p1b'base(Cmd;f)) o
        pv11_p1_ScoutState(Cmd;accpts;f) (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e'))) prior to e')
27. header(e') = ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name
28. has-es-info-type(es;e';f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
29. (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) = (fst(snd(msgval(e')))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
30. delay = 0 ∈ ℤ
31. loc(e) = loc(e') ∈ Id
32. (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) = (fst(snd(snd(msgval(e'))))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
33. #(fst(pv11_p1_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11_p1_init_ballot_num() loc(e');es;e'))) < pv11_p1_threshold(accpts)
34. msg-authentic(info(e)) = pv11_p1_init_active()
35. bnum = (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
36. pvals
= (snd(pv11_p1_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11_p1_init_ballot_num() loc(e');es;e')))
∈ ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
⊢ ↓(bnum = (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e)) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
   ∨ (∃e':E
       ∃bnum1,bnum2:pv11_p1_Ballot_Num()
        ∃b:𝔹
         ∃proposals:(ℤ × Cmd) List
          ((e' <loc e)
          ∧ bnum1 ∈ pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(e')
          ∧ <bnum2, b, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e')
          ∧ (↑(bnum2  < bnum1))
          ∧ (bnum = (pv11_p1_upd_bnum() bnum1 loc(e)) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())))

2
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. accpts : bag(Id)@i
15. ldrs : bag(Id)@i
16. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
17. reps : bag(Id)@i
18. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
21. <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e)@i
22. e' : E
23. delay : ℤ
24. (e' < e)
25. loc(e') ↓∈ ldrs
26. e1 : {e1:E| e1 ≤loc e' } 
27. header(e1) = ``pv11_p1 preempted`` ∈ Name
28. has-es-info-type(es;e1;f;pv11_p1_Ballot_Num())
29. ↑(pv11_p1_is_bnum() msgval(e1))
30. ↑(fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1))  < msgval(e1))
31. (no ((pv11_p1_scout_output(Cmd;accpts;f) (pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1)) o pv11_p1_p1b'base(Cmd;f)) o
        pv11_p1_ScoutState(Cmd;accpts;f) (pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1))) between e1 and e')
32. header(e') = ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name
33. has-es-info-type(es;e';f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
34. (pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1)) = (fst(snd(msgval(e')))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
35. delay = 0 ∈ ℤ
36. loc(e) = loc(e') ∈ Id
37. (pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1)) = (fst(snd(snd(msgval(e'))))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
38. #(fst(pv11_p1_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) 
                                             loc(e1);es.e1;e'))) < pv11_p1_threshold(accpts)
39. msg-authentic(info(e)) = pv11_p1_init_active()
40. bnum = (pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1)) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
41. pvals
= (snd(pv11_p1_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11_p1_upd_bnum() msgval(e1) loc(e1);es.e1;e')))
∈ ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
⊢ ↓(bnum = (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e)) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
   ∨ (∃e':E
       ∃bnum1,bnum2:pv11_p1_Ballot_Num()
        ∃b:𝔹
         ∃proposals:(ℤ × Cmd) List
          ((e' <loc e)
          ∧ bnum1 ∈ pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(e')
          ∧ <bnum2, b, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e')
          ∧ (↑(bnum2  < bnum1))
          ∧ (bnum = (pv11_p1_upd_bnum() bnum1 loc(e)) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}Cmd:ValueAllType.  \mforall{}f:pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd).  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}e:E.
\mforall{}accpts,ldrs:bag(Id).  \mforall{}ldrs$_{uid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  \mforall{}reps:bag(Id).  \mforall{}bnum:pv11\_p1\_Ballot\000C\_Num().
\mforall{}pvals:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List.
    (pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\mbackslash{}\000Cff24;  reps;  f;  es)
    {}\mRightarrow{}  <bnum,  pvals>  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(e)
    {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}(bnum  =  (pv11\_p1\_init\_ballot\_num()  loc(e)))
              \mvee{}  (\mexists{}e':E
                      \mexists{}bnum1,bnum2:pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                        \mexists{}b:\mBbbB{}
                          \mexists{}proposals:(\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List
                            ((e'  <loc  e)
                            \mwedge{}  bnum1  \mmember{}  pv11\_p1\_preempted'base(Cmd;f)(e')
                            \mwedge{}  <bnum2,  b,  proposals>  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(\000Ce')
                            \mwedge{}  (\muparrow{}(bnum2    <  bnum1))
                            \mwedge{}  (bnum  =  (pv11\_p1\_upd\_bnum()  bnum1  loc(e)))))))


By

---

Latex:
(StartEmlProof  THEN  (UseMessageConstraint  (-1)  THENA  Auto)  THEN  SquashExRepD  THEN  DProdsAndUnions)

---

Home Index