---

Step * 1 of Lemma pv11_p1_adopted_from_init_or_preempted


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. accpts : bag(Id)@i
15. ldrs : bag(Id)@i
16. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
17. reps : bag(Id)@i
18. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
21. <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e)@i
22. e' : E
23. delay : ℤ
24. (e' < e)
25. loc(e') ↓∈ ldrs
26. (no ((pv11_p1_scout_output(Cmd;accpts;f) (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) o pv11_p1_p1b'base(Cmd;f)) o
        pv11_p1_ScoutState(Cmd;accpts;f) (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e'))) prior to e')
27. header(e') = ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name
28. has-es-info-type(es;e';f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
29. (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) = (fst(snd(msgval(e')))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
30. delay = 0 ∈ ℤ
31. loc(e) = loc(e') ∈ Id
32. (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) = (fst(snd(snd(msgval(e'))))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
33. #(fst(pv11_p1_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11_p1_init_ballot_num() loc(e');es;e'))) < pv11_p1_threshold(accpts)
34. msg-authentic(info(e)) = pv11_p1_init_active()
35. bnum = (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e')) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()
36. pvals
= (snd(pv11_p1_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11_p1_init_ballot_num() loc(e');es;e')))
∈ ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
⊢ ↓(bnum = (pv11_p1_init_ballot_num() loc(e)) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
   ∨ (∃e':E
       ∃bnum1,bnum2:pv11_p1_Ballot_Num()
        ∃b:𝔹
         ∃proposals:(ℤ × Cmd) List
          ((e' <loc e)
          ∧ bnum1 ∈ pv11_p1_preempted'base(Cmd;f)(e')
          ∧ <bnum2, b, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e')
          ∧ (↑(bnum2  < bnum1))
          ∧ (bnum = (pv11_p1_upd_bnum() bnum1 loc(e)) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())))
BY
{ (D 0 THEN OrLeft THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  e  :  E@i
14.  accpts  :  bag(Id)@i
15.  ldrs  :  bag(Id)@i
16.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
17.  reps  :  bag(Id)@i
18.  bnum  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
19.  pvals  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
20.  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\000C$;  reps;  f;  es)@i
21.  <bnum,  pvals>  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(e)@i
22.  e'  :  E
23.  delay  :  \mBbbZ{}
24.  (e'  <  e)
25.  loc(e')  \mdownarrow{}\mmember{}  ldrs
26.  (no  ((pv11\_p1\_scout\_output(Cmd;accpts;f)  (pv11\_p1\_init\_ballot\_num()  loc(e'))  o
                  pv11\_p1\_p1b'base(Cmd;f))  o  pv11\_p1\_ScoutState(Cmd;accpts;f) 
                                                                        (pv11\_p1\_init\_ballot\_num()  loc(e')))  prior  to  e')
27.  header(e')  =  ``pv11\_p1  p1b``
28.  has-es-info-type(es;e';f;Id
\mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
\mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
\mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
29.  (pv11\_p1\_init\_ballot\_num()  loc(e'))  =  (fst(snd(msgval(e'))))
30.  delay  =  0
31.  loc(e)  =  loc(e')
32.  (pv11\_p1\_init\_ballot\_num()  loc(e'))  =  (fst(snd(snd(msgval(e')))))
33.  \#(fst(pv11\_p1\_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11\_p1\_init\_ballot\_num() 
                                                                                          loc(e');es;e')))  <  pv11\_p1\_threshold(accpts)
34.  msg-authentic(info(e))  =  pv11\_p1\_init\_active()
35.  bnum  =  (pv11\_p1\_init\_ballot\_num()  loc(e'))
36.  pvals  =  (snd(pv11\_p1\_ScoutStateFun(Cmd;accpts;f;pv11\_p1\_init\_ballot\_num()  loc(e');es;e')))
\mvdash{}  \mdownarrow{}(bnum  =  (pv11\_p1\_init\_ballot\_num()  loc(e)))
      \mvee{}  (\mexists{}e':E
              \mexists{}bnum1,bnum2:pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                \mexists{}b:\mBbbB{}
                  \mexists{}proposals:(\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List
                    ((e'  <loc  e)
                    \mwedge{}  bnum1  \mmember{}  pv11\_p1\_preempted'base(Cmd;f)(e')
                    \mwedge{}  <bnum2,  b,  proposals>  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e')
                    \mwedge{}  (\muparrow{}(bnum2    <  bnum1))
                    \mwedge{}  (bnum  =  (pv11\_p1\_upd\_bnum()  bnum1  loc(e)))))


By

---

Latex:
(D  0  THEN  OrLeft  THEN  Auto)

---

Home Index