---

Step * 1 of Lemma pv11_p1_commander_state_fun_eq


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))
13. e : E
14. accpts : bag(Id)
15. b : pv11_p1_Ballot_Num()
16. s : ℤ
⊢ pv11_p1_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es;e)
= if e ∈b pv11_p1_p2b'base(Cmd;f)
    then if first(e)
         then pv11_p1_on_p2b() b s loc(e) pv11_p1_p2b'base(Cmd;f)@e accpts
         else pv11_p1_on_p2b() b s loc(e) pv11_p1_p2b'base(Cmd;f)@e 
              pv11_p1_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es;pred(e))
         fi 
  if first(e) then accpts
  else pv11_p1_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es;pred(e))
  fi 
∈ bag(Id)
BY
{ RepUR ``pv11_p1_CommanderStateFun pv11_p1_CommanderState`` 0 }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))
13. e : E
14. accpts : bag(Id)
15. b : pv11_p1_Ballot_Num()
16. s : ℤ
⊢ state-class1(λloc.accpts;pv11_p1_on_p2b() b s;pv11_p1_p2b'base(Cmd;f))(e)
= if e ∈b pv11_p1_p2b'base(Cmd;f)
    then if first(e)
         then pv11_p1_on_p2b() b s loc(e) pv11_p1_p2b'base(Cmd;f)@e accpts
         else pv11_p1_on_p2b() b s loc(e) pv11_p1_p2b'base(Cmd;f)@e 
              state-class1(λloc.accpts;pv11_p1_on_p2b() b s;pv11_p1_p2b'base(Cmd;f))(pred(e))
         fi 
  if first(e) then accpts
  else state-class1(λloc.accpts;pv11_p1_on_p2b() b s;pv11_p1_p2b'base(Cmd;f))(pred(e))
  fi 
∈ bag(Id)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\} 
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))
13.  e  :  E
14.  accpts  :  bag(Id)
15.  b  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
16.  s  :  \mBbbZ{}
\mvdash{}  pv11\_p1\_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es;e)
=  if  e  \mmember{}\msubb{}  pv11\_p1\_p2b'base(Cmd;f)
        then  if  first(e)
                  then  pv11\_p1\_on\_p2b()  b  s  loc(e)  pv11\_p1\_p2b'base(Cmd;f)@e  accpts
                  else  pv11\_p1\_on\_p2b()  b  s  loc(e)  pv11\_p1\_p2b'base(Cmd;f)@e 
                            pv11\_p1\_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es;pred(e))
                  fi 
    if  first(e)  then  accpts
    else  pv11\_p1\_CommanderStateFun(Cmd;accpts;f;b;s;es;pred(e))
    fi 


By

---

Latex:
RepUR  ``pv11\_p1\_CommanderStateFun  pv11\_p1\_CommanderState``  0

---

Home Index