---

Step * 1 of Lemma pv11_p1_consistency_lemma


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. accpts : bag(Id)@i
14. ldrs : bag(Id)@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. reps : bag(Id)@i
17. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
18. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
19. e : E@i
20. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
21. k : ℤ@i
22. v : Cmd@i
23. pv11_p1_pvalue{i:l}(Cmd;ldrs_uid;accpts;es;e;<b, k, v>;f)@i'
24. e' : E@i
25. w : Cmd@i
26. pv11_p1_decision{i:l}(Cmd;f;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;es;e';k;w)@i'
27. has-es-info-type(es;e';f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num())@i
28. ↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) (snd(snd(snd(msgval(e'))))) b)@i
⊢ w = v ∈ Cmd
BY
{ (RepeatFor 10 (MoveToConcl (-1))
   THEN CausalInd'
   THEN RepeatFor 4 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (FLemma `pv11_p1_pvalue_from_p2a` [17;-1] THENA Auto)
   THEN Auto
   THEN SquashExRepD
   THEN RepeatFor 5 (MoveToConcl (-1))
   THEN RenameVar `e\'' (-3)
   THEN D (-2)) }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. accpts : bag(Id)@i
14. ldrs : bag(Id)@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. reps : bag(Id)@i
17. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
18. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
19. e : E@i
20. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (∀b:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀k:ℤ. ∀v:Cmd.
            (pv11_p1_pvalue{i:l}(Cmd;ldrs_uid;accpts;es;e1;<b, k, v>;f)
            ⇒ (∀e':E. ∀w:Cmd.
                  (pv11_p1_decision{i:l}(Cmd;f;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;es;e';k;w)
                  ⇒ has-es-info-type(es;e';f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num())
                  ⇒ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) (snd(snd(snd(msgval(e'))))) b))
                  ⇒ (w = v ∈ Cmd))))))
21. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
22. k : ℤ@i
23. v : Cmd@i
24. pv11_p1_pvalue{i:l}(Cmd;ldrs_uid;accpts;es;e;<b, k, v>;f)@i'
25. e' : E
26. (e' < e)
27. pv11_p1_from-p2a{i:l}(Cmd;es;e';<b, k, v>)
⊢ ∀e':E. ∀w:Cmd.
    (pv11_p1_decision{i:l}(Cmd;f;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;es;e';k;w)
    ⇒ has-es-info-type(es;e';f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num())
    ⇒ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) (snd(snd(snd(msgval(e'))))) b))
    ⇒ (w = v ∈ Cmd))

2
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. accpts : bag(Id)@i
14. ldrs : bag(Id)@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. reps : bag(Id)@i
17. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
18. Inj(Id;ℤ;ldrs_uid)@i
19. e : E@i
20. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (∀b:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀k:ℤ. ∀v:Cmd.
            (pv11_p1_pvalue{i:l}(Cmd;ldrs_uid;accpts;es;e1;<b, k, v>;f)
            ⇒ (∀e':E. ∀w:Cmd.
                  (pv11_p1_decision{i:l}(Cmd;f;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;es;e';k;w)
                  ⇒ has-es-info-type(es;e';f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num())
                  ⇒ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) (snd(snd(snd(msgval(e'))))) b))
                  ⇒ (w = v ∈ Cmd))))))
21. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
22. k : ℤ@i
23. v : Cmd@i
24. pv11_p1_pvalue{i:l}(Cmd;ldrs_uid;accpts;es;e;<b, k, v>;f)@i'
25. e' : E
26. e' = e ∈ E
27. pv11_p1_from-p2a{i:l}(Cmd;es;e';<b, k, v>)
⊢ ∀e':E. ∀w:Cmd.
    (pv11_p1_decision{i:l}(Cmd;f;accpts;ldrs;ldrs_uid;reps;es;e';k;w)
    ⇒ has-es-info-type(es;e';f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num())
    ⇒ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) (snd(snd(snd(msgval(e'))))) b))
    ⇒ (w = v ∈ Cmd))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  accpts  :  bag(Id)@i
14.  ldrs  :  bag(Id)@i
15.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
16.  reps  :  bag(Id)@i
17.  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\000C$;  reps;  f;  es)@i
18.  Inj(Id;\mBbbZ{};ldrs$_{uid}$)@i
19.  e  :  E@i
20.  b  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
21.  k  :  \mBbbZ{}@i
22.  v  :  Cmd@i
23.  pv11\_p1\_pvalue\{i:l\}(Cmd;ldrs$_{uid}$;accpts;es;e;<b,  k,  v>f)@i'
24.  e'  :  E@i
25.  w  :  Cmd@i
26.  pv11\_p1\_decision\{i:l\}(Cmd;f;accpts;ldrs;ldrs$_{uid}$;reps;es;e';k;w)@i'
27.  has-es-info-type(es;e';f;Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())@i
28.  \muparrow{}(pv11\_p1\_leq\_bnum(ldrs$_{uid}$)  (snd(snd(snd(msgval(e')))))  b)@i
\mvdash{}  w  =  v


By

---

Latex:
(RepeatFor  10  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  CausalInd'
  THEN  RepeatFor  4  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (FLemma  `pv11\_p1\_pvalue\_from\_p2a`  [17;-1]  THENA  Auto)
  THEN  Auto
  THEN  SquashExRepD
  THEN  RepeatFor  5  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  RenameVar  `e\mbackslash{}''  (-3)
  THEN  D  (-2))

---

Home Index