---

Step * 1 of Lemma pv11_p1_ldr_fun_state_adopted_pred


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. ((f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type)
∧ ((f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type)
∧ ((f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type)
∧ ((f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type)
∧ ((f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type)
∧ ((f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type)
∧ ((f ``pv11_p1 p1b``)
  = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
  ∈ Type)
∧ ((f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type)
4. f ∈ Name ─→ Type
⊢ ∀es:EO+(Message(f)). ∀e1,e2:E. ∀ldrs_uid:Id ─→ ℤ. ∀bnum:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀active:𝔹. ∀proposals:(ℤ × Cmd) List.
  ∀pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List.
    ((e1 <loc e2)
    ⇒ (<bnum, active, proposals>
       = pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1)
       ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List)))
    ⇒ (header(e1) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name)
    ⇒ (<bnum, pvals> = msgval(e1) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)))
    ⇒ (∃e:{e:E| ¬↑first(e)} 
         ((e1 = pred(e) ∈ E)
         ∧ e ≤loc e2 
         ∧ (<bnum, tt, pv11_p1_update_proposals(Cmd) proposals (pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) pvals)>
           = pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)
           ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))))))
BY
{ Auto }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
17. active : 𝔹@i
18. proposals : (ℤ × Cmd) List@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. <bnum, active, proposals>
= pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1)
∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))@i
22. header(e1) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name@i
23. <bnum, pvals> = msgval(e1) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))@i
⊢ ∃e:{e:E| ¬↑first(e)} 
   ((e1 = pred(e) ∈ E)
   ∧ e ≤loc e2 
   ∧ (<bnum, tt, pv11_p1_update_proposals(Cmd) proposals (pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) pvals)>
     = pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)
     ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  ((f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd))
\mwedge{}  ((f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd))
\mwedge{}  ((f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)))
\mwedge{}  ((f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
\mwedge{}  ((f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()))
\mwedge{}  ((f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd))
\mwedge{}  ((f  ``pv11\_p1  p1b``)
    =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)))
\mwedge{}  ((f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()))
4.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
\mvdash{}  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}e1,e2:E.  \mforall{}ldrs$_{uid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  \mforall{}bnum:pv11\_p1\_Ballot\_Num\000C().  \mforall{}active:\mBbbB{}.
    \mforall{}proposals:(\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List.  \mforall{}pvals:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List.
        ((e1  <loc  e2)
        {}\mRightarrow{}  (<bnum,  active,  proposals>  =  pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es\000C;e1))
        {}\mRightarrow{}  (header(e1)  =  ``pv11\_p1  adopted``)
        {}\mRightarrow{}  (<bnum,  pvals>  =  msgval(e1))
        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e:\{e:E|  \mneg{}\muparrow{}first(e)\} 
                  ((e1  =  pred(e))
                  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2 
                  \mwedge{}  (<bnum,  tt,  pv11\_p1\_update\_proposals(Cmd)  proposals  (pv11\_p1\_pmax(Cmd;ldrs$_{\000Cuid}$)  pvals)>
                      =  pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))))


By

---

Latex:
Auto

---

Home Index