---

Step * 1 3 of Lemma pv11_p1_pvalue_from_p2a


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. accpts : bag(Id)@i
14. ldrs : bag(Id)@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. reps : bag(Id)@i
17. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
18. e : E@i
19. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (∀p:pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd
            (pv11_p1_pvalue{i:l}(Cmd;ldrs_uid;accpts;es;e1;p;f)
            ⇒ (↓∃e':E. (e' c≤ e1 ∧ pv11_p1_from-p2a{i:l}(Cmd;es;e';p))))))
20. p1 : pv11_p1_Ballot_Num()@i
21. p3 : ℤ@i
22. p4 : Cmd@i
23. header(e) = ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name@i'
24. (<p1, p3, p4> ∈ snd(snd(snd(msgval(e)))))@i'
⊢ ↓∃e':E. (e' c≤ e ∧ pv11_p1_from-p2a{i:l}(Cmd;es;e';<p1, p3, p4>))
BY
{ ((Assert ⌈has-es-info-type(es;e;f;Id
            × pv11_p1_Ballot_Num()
            × pv11_p1_Ballot_Num()
            × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))⌉⋅
    THENA Auto
    )
   THEN UseMessageConstraint (-3)
   THEN Try (Complete (Repeat ((RWO "pair-eta<" 0 THEN Auto))))
   THEN SqExRepD
   THEN (InstHyp [⌈e'⌉;⌈<p1, p3, p4>⌉] 19⋅ THENA Auto)
   THEN Try ((RepeatFor 2 (ParallelLast) THEN Auto))
   THEN OrLeft
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  accpts  :  bag(Id)@i
14.  ldrs  :  bag(Id)@i
15.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
16.  reps  :  bag(Id)@i
17.  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\000C$;  reps;  f;  es)@i
18.  e  :  E@i
19.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}p:pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd
                        (pv11\_p1\_pvalue\{i:l\}(Cmd;ldrs$_{uid}$;accpts;es;e1;p;f)
                        {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}e':E.  (e'  c\mleq{}  e1  \mwedge{}  pv11\_p1\_from-p2a\{i:l\}(Cmd;es;e';p))))))
20.  p1  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
21.  p3  :  \mBbbZ{}@i
22.  p4  :  Cmd@i
23.  header(e)  =  ``pv11\_p1  p1b``@i'
24.  (<p1,  p3,  p4>  \mmember{}  snd(snd(snd(msgval(e)))))@i'
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}e':E.  (e'  c\mleq{}  e  \mwedge{}  pv11\_p1\_from-p2a\{i:l\}(Cmd;es;e';<p1,  p3,  p4>))


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}has-es-info-type(es;e;f;Id
                    \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                    \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                    \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))\mkleeneclose{}\mcdot{}
    THENA  Auto
    )
  THEN  UseMessageConstraint  (-3)
  THEN  Try  (Complete  (Repeat  ((RWO  "pair-eta<"  0  THEN  Auto))))
  THEN  SqExRepD
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}e'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}<p1,  p3,  p4>\mkleeneclose{}]  19\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Try  ((RepeatFor  2  (ParallelLast)  THEN  Auto))
  THEN  OrLeft
  THEN  Auto)

---

Home Index