---

Step * 1 1 2 of Lemma pv11_p1_validity-lemma


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. accpts : bag(Id)@i
14. ldrs : bag(Id)@i
15. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
16. reps : bag(Id)@i
17. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
18. e : E@i
19. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (pv11_p1_valid-AcceptorState(Cmd;ldrs_uid;es;e1;f)
         ∧ pv11_p1_valid-LeaderState(Cmd;ldrs_uid;es;e1;f)
         ∧ (∀b:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀start:E.
              (start ≤loc e1  ⇒ pv11_p1_valid-ScoutState(Cmd;accpts;b;start;es;e1;f)))
         ∧ ((header(e1) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name)
           ⇒ has-es-info-type(es;e1;f;pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
           ⇒ pv11_p1_valid-adopted-message(Cmd;es;e1;f))
         ∧ ((header(e1) = ``pv11_p1 p1b`` ∈ Name)
           ⇒ has-es-info-type(es;e1;f;Id
              × pv11_p1_Ballot_Num()
              × pv11_p1_Ballot_Num()
              × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
           ⇒ pv11_p1_valid-p1b-message(Cmd;es;e1;f))
         ∧ ((header(e1) = ``pv11_p1 p2a`` ∈ Name)
           ⇒ has-es-info-type(es;e1;f;Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd)
           ⇒ pv11_p1_valid-p2a-message(Cmd;es;e1;f))))
20. p : ℤ × Cmd@i
21. y : pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd
22. (y ∈ snd(pv11_p1_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))
23. p = (snd(y)) ∈ (ℤ × Cmd)
24. e' : E
25. l : Id
26. e' ≤loc e 
27. header(e') = ``pv11_p1 p2a`` ∈ Name
28. <l, y> = body(e')
29. pv11_p1_valid-p2a-message(Cmd;es;e';f)
⊢ pv11_p1_valid-proposal(Cmd;es;e;p;f)
BY
{ (Using [`e',⌈e'⌉] (BLemma `pv11_p1_valid-proposal-transitivity`)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\} 
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  accpts  :  bag(Id)@i
14.  ldrs  :  bag(Id)@i
15.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
16.  reps  :  bag(Id)@i
17.  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\000C$;  reps;  f;  es)@i
18.  e  :  E@i
19.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (pv11\_p1\_valid-AcceptorState(Cmd;ldrs$_{uid}$;es;e1;f)
                  \mwedge{}  pv11\_p1\_valid-LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;es;e1;f)
                  \mwedge{}  (\mforall{}b:pv11\_p1\_Ballot\_Num().  \mforall{}start:E.
                            (start  \mleq{}loc  e1    {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-ScoutState(Cmd;accpts;b;start;es;e1;f)))
                  \mwedge{}  ((header(e1)  =  ``pv11\_p1  adopted``)
                      {}\mRightarrow{}  has-es-info-type(es;e1;f;pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                            \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
                      {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-adopted-message(Cmd;es;e1;f))
                  \mwedge{}  ((header(e1)  =  ``pv11\_p1  p1b``)
                      {}\mRightarrow{}  has-es-info-type(es;e1;f;Id
                            \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                            \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                            \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
                      {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-p1b-message(Cmd;es;e1;f))
                  \mwedge{}  ((header(e1)  =  ``pv11\_p1  p2a``)
                      {}\mRightarrow{}  has-es-info-type(es;e1;f;Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
                      {}\mRightarrow{}  pv11\_p1\_valid-p2a-message(Cmd;es;e1;f))))
20.  p  :  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd@i
21.  y  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd
22.  (y  \mmember{}  snd(pv11\_p1\_AcceptorStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))
23.  p  =  (snd(y))
24.  e'  :  E
25.  l  :  Id
26.  e'  \mleq{}loc  e 
27.  header(e')  =  ``pv11\_p1  p2a``
28.  <l,  y>  =  body(e')
29.  pv11\_p1\_valid-p2a-message(Cmd;es;e';f)
\mvdash{}  pv11\_p1\_valid-proposal(Cmd;es;e;p;f)


By

---

Latex:
(Using  [`e',\mkleeneopen{}e'\mkleeneclose{}]  (BLemma  `pv11\_p1\_valid-proposal-transitivity`)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index