---

Step * 1 1 1 1 1 2 1 1 of Lemma reliable-env-property


1. [M] : Type ─→ Type
2. Continuous+(P.M[P])
3. S0 : InitialSystem(P.M[P])@i
4. n2m : ℕ ─→ pMsg(P.M[P])@i
5. l2m : Id ─→ pMsg(P.M[P])@i
6. env : pEnvType(P.M[P])@i
7. pRun(S0;env;n2m;l2m) ∈ pRunType(P.M[P])
8. reliable-env(env; pRun(S0;env;n2m;l2m))@i
9. n : ℕ@i
10. ∀n1:ℕn. ∀t:ℕ.
      ((run-command-node(pRun(S0;env;n2m;l2m);t;n1)
      ∧ (com-kind(snd(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));n1)))) ∈ ``msg choose new``))
      ⇒ (∃e:runEvents(pRun(S0;env;n2m;l2m))
           let t,n = <t, n1> 
           in (run-info(pRun(S0;env;n2m;l2m);e)
              = intransit-to-info(n2m;l2m;pRun(S0;env;n2m;l2m);env;run-event-step(e);lg-label(snd(snd((... 
                                                                                                       t)));n))
              ∈ (ℤ × Id × pMsg(P.M[P])))
              ∧ (run-event-loc(e) = (fst(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));n)))) ∈ Id)))@i
11. t : ℕ@i
12. run-command-node(pRun(S0;env;n2m;l2m);t;n)@i
13. (com-kind(snd(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));n)))) ∈ ``msg choose new``)@i
14. t' : ℕ
15. t < t'
16. (fst((env t' pRun(S0;env;n2m;l2m)))) ≤ n
17. ↑lg-is-source(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);t');fst((env t' pRun(S0;env;n2m;l2m)))) 
    supposing 0 < lg-size(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);t'))
18. ∀i:ℕ
      ¬(t < i
      c∧ (((fst((env i pRun(S0;env;n2m;l2m)))) ≤ n)
         ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);i);fst((env i pRun(S0;env;n2m;l2m)))) 
           supposing 0 < lg-size(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);i)))) 
      supposing i < t'
19. k : ℤ@i
20. \\%20 : 0 < k@i
21. t + k < t'@i
22. n < lg-size(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + (k - 1))))))
∧ (∀x:ℕ
     ((x ≤ n)
     ⇒ (lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + (k - 1)))));x)
        = lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));x)
        ∈ pInTransit(P.M[P]))))@i
⊢ n < lg-size(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + k)))))
∧ (∀x:ℕ
     ((x ≤ n)
     ⇒ (lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + k))));x)
        = lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));x)
        ∈ pInTransit(P.M[P]))))
BY
{ ((InstHyp [⌈t + k⌉] (-5)⋅ THENA Auto')
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN Subst ⌈pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + k) ~ let n,m,nm = env (t + k) pRun(S0;env;n2m;l2m) in 
               do-chosen-command(n2m;l2m;t + k;snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + (k - 1))));n;m;nm)⌉ 0⋅) }

1
.....equality..... 
1. M : Type ─→ Type
2. Continuous+(P.M[P])
3. S0 : InitialSystem(P.M[P])@i
4. n2m : ℕ ─→ pMsg(P.M[P])@i
5. l2m : Id ─→ pMsg(P.M[P])@i
6. env : pEnvType(P.M[P])@i
7. pRun(S0;env;n2m;l2m) ∈ pRunType(P.M[P])
8. reliable-env(env; pRun(S0;env;n2m;l2m))@i
9. n : ℕ@i
10. ∀n1:ℕn. ∀t:ℕ.
      ((run-command-node(pRun(S0;env;n2m;l2m);t;n1)
      ∧ (com-kind(snd(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));n1)))) ∈ ``msg choose new``))
      ⇒ (∃e:runEvents(pRun(S0;env;n2m;l2m))
           let t,n = <t, n1> 
           in (run-info(pRun(S0;env;n2m;l2m);e)
              = intransit-to-info(n2m;l2m;pRun(S0;env;n2m;l2m);env;run-event-step(e);lg-label(snd(snd((... 
                                                                                                       t)));n))
              ∈ (ℤ × Id × pMsg(P.M[P])))
              ∧ (run-event-loc(e) = (fst(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));n)))) ∈ Id)))@i
11. t : ℕ@i
12. run-command-node(pRun(S0;env;n2m;l2m);t;n)@i
13. (com-kind(snd(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));n)))) ∈ ``msg choose new``)@i
14. t' : ℕ
15. t < t'
16. (fst((env t' pRun(S0;env;n2m;l2m)))) ≤ n
17. ↑lg-is-source(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);t');fst((env t' pRun(S0;env;n2m;l2m)))) 
    supposing 0 < lg-size(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);t'))
18. ∀i:ℕ
      ¬(t < i
      c∧ (((fst((env i pRun(S0;env;n2m;l2m)))) ≤ n)
         ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);i);fst((env i pRun(S0;env;n2m;l2m)))) 
           supposing 0 < lg-size(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);i)))) 
      supposing i < t'
19. k : ℤ@i
20. 0 < k@i
21. t + k < t'@i
22. n < lg-size(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + (k - 1))))))
∧ (∀x:ℕ
     ((x ≤ n)
     ⇒ (lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + (k - 1)))));x)
        = lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));x)
        ∈ pInTransit(P.M[P]))))@i
⊢ pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + k) ~ let n,m,nm = env (t + k) pRun(S0;env;n2m;l2m) in 
do-chosen-command(n2m;l2m;t + k;snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + (k - 1))));n;m;nm)

2
1. [M] : Type ─→ Type
2. Continuous+(P.M[P])
3. S0 : InitialSystem(P.M[P])@i
4. n2m : ℕ ─→ pMsg(P.M[P])@i
5. l2m : Id ─→ pMsg(P.M[P])@i
6. env : pEnvType(P.M[P])@i
7. pRun(S0;env;n2m;l2m) ∈ pRunType(P.M[P])
8. reliable-env(env; pRun(S0;env;n2m;l2m))@i
9. n : ℕ@i
10. ∀n1:ℕn. ∀t:ℕ.
      ((run-command-node(pRun(S0;env;n2m;l2m);t;n1)
      ∧ (com-kind(snd(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));n1)))) ∈ ``msg choose new``))
      ⇒ (∃e:runEvents(pRun(S0;env;n2m;l2m))
           let t,n = <t, n1> 
           in (run-info(pRun(S0;env;n2m;l2m);e)
              = intransit-to-info(n2m;l2m;pRun(S0;env;n2m;l2m);env;run-event-step(e);lg-label(snd(snd((... 
                                                                                                       t)));n))
              ∈ (ℤ × Id × pMsg(P.M[P])))
              ∧ (run-event-loc(e) = (fst(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));n)))) ∈ Id)))@i
11. t : ℕ@i
12. run-command-node(pRun(S0;env;n2m;l2m);t;n)@i
13. (com-kind(snd(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));n)))) ∈ ``msg choose new``)@i
14. t' : ℕ
15. t < t'
16. (fst((env t' pRun(S0;env;n2m;l2m)))) ≤ n
17. ↑lg-is-source(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);t');fst((env t' pRun(S0;env;n2m;l2m)))) 
    supposing 0 < lg-size(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);t'))
18. ∀i:ℕ
      ¬(t < i
      c∧ (((fst((env i pRun(S0;env;n2m;l2m)))) ≤ n)
         ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);i);fst((env i pRun(S0;env;n2m;l2m)))) 
           supposing 0 < lg-size(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);i)))) 
      supposing i < t'
19. k : ℤ@i
20. \\%20 : 0 < k@i
21. t + k < t'@i
22. n < lg-size(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + (k - 1))))))
∧ (∀x:ℕ
     ((x ≤ n)
     ⇒ (lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + (k - 1)))));x)
        = lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));x)
        ∈ pInTransit(P.M[P]))))@i
⊢ (¬(t < t + k
c∧ (((fst((env (t + k) pRun(S0;env;n2m;l2m)))) ≤ n)
   ∧ ↑lg-is-source(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);t + k);fst((env (t + k) pRun(S0;env;n2m;l2m)))) 
     supposing 0 < lg-size(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);t + k)))))
⇒ (n < lg-size(snd(snd(let n,m,nm = env (t + k) pRun(S0;env;n2m;l2m) in 
   do-chosen-command(n2m;l2m;t + k;snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + (k - 1))));n;m;nm))))
   ∧ (∀x:ℕ
        ((x ≤ n)
        ⇒ (lg-label(snd(snd(let n,m,nm = env (t + k) pRun(S0;env;n2m;l2m) in 
           do-chosen-command(n2m;l2m;t + k;snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) (t + (k - 1))));n;m;nm)));x)
           = lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m) t)));x)
           ∈ pInTransit(P.M[P])))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [M]  :  Type  {}\mrightarrow{}  Type
2.  Continuous+(P.M[P])
3.  S0  :  InitialSystem(P.M[P])@i
4.  n2m  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  pMsg(P.M[P])@i
5.  l2m  :  Id  {}\mrightarrow{}  pMsg(P.M[P])@i
6.  env  :  pEnvType(P.M[P])@i
7.  pRun(S0;env;n2m;l2m)  \mmember{}  pRunType(P.M[P])
8.  reliable-env(env;  pRun(S0;env;n2m;l2m))@i
9.  n  :  \mBbbN{}@i
10.  \mforall{}n1:\mBbbN{}n.  \mforall{}t:\mBbbN{}.
            ((run-command-node(pRun(S0;env;n2m;l2m);t;n1)
            \mwedge{}  (com-kind(snd(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m)  t)));n1))))  \mmember{}  ``msg  choose  new``))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e:runEvents(pRun(S0;env;n2m;l2m))
                      let  t,n  =  <t,  n1> 
                      in  (run-info(pRun(S0;env;n2m;l2m);e)
                            =  intransit-to-info(n2m;l2m;pRun(S0;env;n2m;l2m);env;run-event-step(e);...))
                            \mwedge{}  (run-event-loc(e)  =  (fst(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m)  t)));n)))))))@i
11.  t  :  \mBbbN{}@i
12.  run-command-node(pRun(S0;env;n2m;l2m);t;n)@i
13.  (com-kind(snd(snd(lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m)  t)));n))))  \mmember{}  ``msg  choose  new``)@i
14.  t'  :  \mBbbN{}
15.  t  <  t'
16.  (fst((env  t'  pRun(S0;env;n2m;l2m))))  \mleq{}  n
17.  \muparrow{}lg-is-source(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);t');fst((env  t'  pRun(S0;env;n2m;l2m)))) 
        supposing  0  <  lg-size(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);t'))
18.  \mforall{}i:\mBbbN{}
            \mneg{}(t  <  i
            c\mwedge{}  (((fst((env  i  pRun(S0;env;n2m;l2m))))  \mleq{}  n)
                  \mwedge{}  \muparrow{}lg-is-source(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);i);fst((env  i  pRun(S0;env;n2m;l2m)))) 
                      supposing  0  <  lg-size(run-intransit(pRun(S0;env;n2m;l2m);i)))) 
            supposing  i  <  t'
19.  k  :  \mBbbZ{}@i
20.  \mbackslash{}\mbackslash{}\%20  :  0  <  k@i
21.  t  +  k  <  t'@i
22.  n  <  lg-size(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m)  (t  +  (k  -  1))))))
\mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbN{}
          ((x  \mleq{}  n)
          {}\mRightarrow{}  (lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m)  (t  +  (k  -  1)))));x)
                =  lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m)  t)));x))))@i
\mvdash{}  n  <  lg-size(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m)  (t  +  k)))))
\mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbN{}
          ((x  \mleq{}  n)
          {}\mRightarrow{}  (lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m)  (t  +  k))));x)
                =  lg-label(snd(snd((pRun(S0;env;n2m;l2m)  t)));x))))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}t  +  k\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  Auto')
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  Subst  \mkleeneopen{}pRun(S0;env;n2m;l2m)  (t  +  k)  \msim{}  let  n,m,nm  =  env  (t  +  k)  pRun(S0;env;n2m;l2m)  in 
                          do-chosen-command(n2m;l2m;t  +  k;snd((pRun(S0;env;n2m;l2m)  (t  +  (k  -  1))));n;m;nm)\mkleeneclose{}  0\mcdot{})

---

Home Index