---

Step * 1 1 3 of Lemma run-event-cases


1. [M] : Type ─→ Type
2. S0 : System(P.M[P])@i
3. r : pRunType(P.M[P])@i
4. n : ℕ@i
5. x : Id@i
6. m : ℕ@i
7. n ≤ m
8. ↑is-run-event(r;m;x)
9. ↑is-run-event(r;n;x)
10. L1 : {tx:ℕn × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List@i
11. ¬(L1 = [] ∈ ({tx:ℕn × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List))
12. mapfilter(λt.<t, x>;λt.is-run-event(r;t;x);[0, n))
= L1
∈ ({tx:ℕn × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List)@i
13. L2 : {tx:{n..m-} × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List@i
14. mapfilter(λt.<t, x>;λt.is-run-event(r;t;x);[n, m))
= L2
∈ ({tx:{n..m-} × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List)@i
15. ↑is-run-event(r;m;x)
⊢ (((inl last(L1 @ L2)) = (inl last(L1)) ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))} ?))
∧ ((L2 @ [<m, x>]) = [<m, x>] ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List)))
∨ (∃e:{tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))} 
    (fst(e) < m
    ∧ (n ≤ (fst(e)))
    ∧ ((x = (snd(e)) ∈ Id) ∧ ((inl last(L1 @ L2)) = (inl e) ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))} ?)))
    ∧ ((L2 @ [<m, x>])
      = (map(λt.<t, x>;filter(λt.is-run-event(r;t;x);[n, (fst(e)) + 1))) @ [<m, x>])
      ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List))))
BY
{ (Decide ⌈↑null(L2)⌉⋅ THENA Auto) }

1
1. [M] : Type ─→ Type
2. S0 : System(P.M[P])@i
3. r : pRunType(P.M[P])@i
4. n : ℕ@i
5. x : Id@i
6. m : ℕ@i
7. n ≤ m
8. ↑is-run-event(r;m;x)
9. ↑is-run-event(r;n;x)
10. L1 : {tx:ℕn × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List@i
11. ¬(L1 = [] ∈ ({tx:ℕn × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List))
12. mapfilter(λt.<t, x>;λt.is-run-event(r;t;x);[0, n))
= L1
∈ ({tx:ℕn × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List)@i
13. L2 : {tx:{n..m-} × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List@i
14. mapfilter(λt.<t, x>;λt.is-run-event(r;t;x);[n, m))
= L2
∈ ({tx:{n..m-} × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List)@i
15. ↑is-run-event(r;m;x)
16. ↑null(L2)
⊢ (((inl last(L1 @ L2)) = (inl last(L1)) ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))} ?))
∧ ((L2 @ [<m, x>]) = [<m, x>] ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List)))
∨ (∃e:{tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))} 
    (fst(e) < m
    ∧ (n ≤ (fst(e)))
    ∧ ((x = (snd(e)) ∈ Id) ∧ ((inl last(L1 @ L2)) = (inl e) ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))} ?)))
    ∧ ((L2 @ [<m, x>])
      = (map(λt.<t, x>;filter(λt.is-run-event(r;t;x);[n, (fst(e)) + 1))) @ [<m, x>])
      ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List))))

2
1. [M] : Type ─→ Type
2. S0 : System(P.M[P])@i
3. r : pRunType(P.M[P])@i
4. n : ℕ@i
5. x : Id@i
6. m : ℕ@i
7. n ≤ m
8. ↑is-run-event(r;m;x)
9. ↑is-run-event(r;n;x)
10. L1 : {tx:ℕn × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List@i
11. ¬(L1 = [] ∈ ({tx:ℕn × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List))
12. mapfilter(λt.<t, x>;λt.is-run-event(r;t;x);[0, n))
= L1
∈ ({tx:ℕn × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List)@i
13. L2 : {tx:{n..m-} × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List@i
14. mapfilter(λt.<t, x>;λt.is-run-event(r;t;x);[n, m))
= L2
∈ ({tx:{n..m-} × {i:Id| i = x ∈ Id} | ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List)@i
15. ↑is-run-event(r;m;x)
16. ¬↑null(L2)
⊢ (((inl last(L1 @ L2)) = (inl last(L1)) ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))} ?))
∧ ((L2 @ [<m, x>]) = [<m, x>] ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List)))
∨ (∃e:{tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))} 
    (fst(e) < m
    ∧ (n ≤ (fst(e)))
    ∧ ((x = (snd(e)) ∈ Id) ∧ ((inl last(L1 @ L2)) = (inl e) ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))} ?)))
    ∧ ((L2 @ [<m, x>])
      = (map(λt.<t, x>;filter(λt.is-run-event(r;t;x);[n, (fst(e)) + 1))) @ [<m, x>])
      ∈ ({tx:ℕ × Id| ↑is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))}  List))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [M]  :  Type  {}\mrightarrow{}  Type
2.  S0  :  System(P.M[P])@i
3.  r  :  pRunType(P.M[P])@i
4.  n  :  \mBbbN{}@i
5.  x  :  Id@i
6.  m  :  \mBbbN{}@i
7.  n  \mleq{}  m
8.  \muparrow{}is-run-event(r;m;x)
9.  \muparrow{}is-run-event(r;n;x)
10.  L1  :  \{tx:\mBbbN{}n  \mtimes{}  \{i:Id|  i  =  x\}  |  \muparrow{}is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))\}    List@i
11.  \mneg{}(L1  =  [])
12.  mapfilter(\mlambda{}t.<t,  x>\mlambda{}t.is-run-event(r;t;x);[0,  n))  =  L1@i
13.  L2  :  \{tx:\{n..m\msupminus{}\}  \mtimes{}  \{i:Id|  i  =  x\}  |  \muparrow{}is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))\}    List@i
14.  mapfilter(\mlambda{}t.<t,  x>\mlambda{}t.is-run-event(r;t;x);[n,  m))  =  L2@i
15.  \muparrow{}is-run-event(r;m;x)
\mvdash{}  (((inl  last(L1  @  L2))  =  (inl  last(L1)))  \mwedge{}  ((L2  @  [<m,  x>])  =  [<m,  x>]))
\mvee{}  (\mexists{}e:\{tx:\mBbbN{}  \mtimes{}  Id|  \muparrow{}is-run-event(r;fst(tx);snd(tx))\} 
        (fst(e)  <  m
        \mwedge{}  (n  \mleq{}  (fst(e)))
        \mwedge{}  ((x  =  (snd(e)))  \mwedge{}  ((inl  last(L1  @  L2))  =  (inl  e)))
        \mwedge{}  ((L2  @  [<m,  x>])
            =  (map(\mlambda{}t.<t,  x>filter(\mlambda{}t.is-run-event(r;t;x);[n,  (fst(e))  +  1)))  @  [<m,  x>]))))


By

---

Latex:
(Decide  \mkleeneopen{}\muparrow{}null(L2)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index