---

Step * 1 2 of Lemma bounded-expectation


1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. B : ℚ@i
5. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  X[i] ≤ X[n]
7. 0 < B
8. ∀n:ℕ. (0 ≤ X[n] ∧ E(f[n];X[n]) < B)
9. ∀q:ℚ. (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q))
⊢ nullset(p;(X[n]─→∞ as n─→∞))
BY
{ Assert ⌈∀q:ℚ
            (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∃C:p-open(p). (measure(C) ≤ q ∧ (∀s:ℕ ─→ Outcome. ((∃n:ℕ. (b ≤ (X[n] s))) ⇒ s ∈ C)))))⌉⋅ }

1
.....assertion..... 
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. B : ℚ@i
5. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  X[i] ≤ X[n]
7. 0 < B
8. ∀n:ℕ. (0 ≤ X[n] ∧ E(f[n];X[n]) < B)
9. ∀q:ℚ. (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q))
⊢ ∀q:ℚ. (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∃C:p-open(p). (measure(C) ≤ q ∧ (∀s:ℕ ─→ Outcome. ((∃n:ℕ. (b ≤ (X[n] s))) ⇒ s ∈ C)))))

2
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. B : ℚ@i
5. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  X[i] ≤ X[n]
7. 0 < B
8. ∀n:ℕ. (0 ≤ X[n] ∧ E(f[n];X[n]) < B)
9. ∀q:ℚ. (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∀n:ℕ. E(f[n];b ≤ X[n]) < q))
10. ∀q:ℚ. (0 < q ⇒ (∃b:ℚ. ∃C:p-open(p). (measure(C) ≤ q ∧ (∀s:ℕ ─→ Outcome. ((∃n:ℕ. (b ≤ (X[n] s))) ⇒ s ∈ C)))))
⊢ nullset(p;(X[n]─→∞ as n─→∞))

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace@i
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])@i
4.  B  :  \mBbbQ{}@i
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    X[i]  \mleq{}  X[n]
7.  0  <  B
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (0  \mleq{}  X[n]  \mwedge{}  E(f[n];X[n])  <  B)
9.  \mforall{}q:\mBbbQ{}.  (0  <  q  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:\mBbbQ{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  E(f[n];b  \mleq{}  X[n])  <  q))
\mvdash{}  nullset(p;(X[n]{}\mrightarrow{}\minfty{}  as  n{}\mrightarrow{}\minfty{}))


By

Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}q:\mBbbQ{}
                    (0  <  q
                    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:\mBbbQ{}
                              \mexists{}C:p-open(p)
                                (measure(C)  \mleq{}  q  \mwedge{}  (\mforall{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  Outcome.  ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  (b  \mleq{}  (X[n]  s)))  {}\mRightarrow{}  s  \mmember{}  C)))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index