---

Step * 3 of Lemma rv-disjoint-rv-partial-sum


1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. N : ℕ@i
5. Z : RandomVariable(p;N)@i
6. n : ℕ@i
7. (∀i:ℕ0 - 1. rv-disjoint(p;N;X[i];Z)) ⇒ (∀k:ℕ0. rv-disjoint(p;N;rv-partial-sum(k;i.X[i]);Z)) 
   supposing ∀i:ℕ0. f[i] < N
8. ∀n:{n:ℤ| 0 < n} 
     ((∀i:ℕn - 1 - 1. rv-disjoint(p;N;X[i];Z)) ⇒ (∀k:ℕn - 1. rv-disjoint(p;N;rv-partial-sum(k;i.X[i]);Z)) 
      supposing ∀i:ℕn - 1. f[i] < N
     ⇒ (∀i:ℕn - 1. rv-disjoint(p;N;X[i];Z)) ⇒ (∀k:ℕn. rv-disjoint(p;N;rv-partial-sum(k;i.X[i]);Z)) 
        supposing ∀i:ℕn. f[i] < N)
9. n1 : ℕ@i
10. ∀i:ℕn1. f[i] < N@i
11. ∀i:ℕn1 - 1. rv-disjoint(p;N;X[i];Z)
12. k : ℕn1@i
13. ||p|| ∈ ℕ
⊢ rv-partial-sum(k;i.X[i]) ∈ RandomVariable(p;N)
BY
{ (All (Unfold `random-variable`) THEN ProveWfLemma) }

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace@i
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])@i
4.  N  :  \mBbbN{}@i
5.  Z  :  RandomVariable(p;N)@i
6.  n  :  \mBbbN{}@i
7.  (\mforall{}i:\mBbbN{}0  -  1.  rv-disjoint(p;N;X[i];Z))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}k:\mBbbN{}0.  rv-disjoint(p;N;rv-partial-sum(k;i.X[i]);Z)) 
      supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}0.  f[i]  <  N
8.  \mforall{}n:\{n:\mBbbZ{}|  0  <  n\} 
          ((\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  1  -  1.  rv-disjoint(p;N;X[i];Z))
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}k:\mBbbN{}n  -  1.  rv-disjoint(p;N;rv-partial-sum(k;i.X[i]);Z)) 
            supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}n  -  1.  f[i]  <  N
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}n  -  1.  rv-disjoint(p;N;X[i];Z))
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}k:\mBbbN{}n.  rv-disjoint(p;N;rv-partial-sum(k;i.X[i]);Z)) 
                supposing  \mforall{}i:\mBbbN{}n.  f[i]  <  N)
9.  n1  :  \mBbbN{}@i
10.  \mforall{}i:\mBbbN{}n1.  f[i]  <  N@i
11.  \mforall{}i:\mBbbN{}n1  -  1.  rv-disjoint(p;N;X[i];Z)
12.  k  :  \mBbbN{}n1@i
13.  ||p||  \mmember{}  \mBbbN{}
\mvdash{}  rv-partial-sum(k;i.X[i])  \mmember{}  RandomVariable(p;N)


By

(All  (Unfold  `random-variable`)  THEN  ProveWfLemma)

---

Home Index