---

Step * 1 of Lemma slln-lemma3


1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. s : ℚ@i
5. k : ℚ@i
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
7. ∀n:ℕ. ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))
8. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9. ∃B:ℚ
    ∀n:ℕ
      (E(f[n];rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )) ≤ B)
⊢ nullset(p;λs.∃q:ℚ. (0 < q ∧ (∀n:ℕ. ∃m:ℕ. (n < m ∧ (q ≤ |Σ0 ≤ i < m. (1/m) * (X[i] s)|)))))
BY
{ (ExRepD
   THEN Assert ⌈∀n:ℕ
                  (rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )
                   ∈ RandomVariable(p;f[n]))⌉⋅
   ) }

1
.....assertion..... 
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. s : ℚ@i
5. k : ℚ@i
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
7. ∀n:ℕ. ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))
8. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9. B : ℚ
10. ∀n:ℕ
      (E(f[n];rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )) ≤ B)
⊢ ∀n:ℕ
    (rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )
     ∈ RandomVariable(p;f[n]))

2
1. p : FinProbSpace@i
2. f : ℕ ─→ ℕ@i
3. X : n:ℕ ─→ RandomVariable(p;f[n])@i
4. s : ℚ@i
5. k : ℚ@i
6. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  f[i] < f[n]
7. ∀n:ℕ. ((E(f[n];X[n]) = 0 ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.x * x) o X[n]) = s ∈ ℚ) ∧ (E(f[n];(x.(x * x) * x * x) o X[n]) = k ∈ ℚ))
8. ∀n:ℕ. ∀i:ℕn.  rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9. B : ℚ
10. ∀n:ℕ
      (E(f[n];rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )) ≤ B)
11. ∀n:ℕ
      (rv-partial-sum(n;k.if (k =z 0) then 0 else (x.(x * x) * x * x) o (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i]) fi )
       ∈ RandomVariable(p;f[n]))
⊢ nullset(p;λs.∃q:ℚ. (0 < q ∧ (∀n:ℕ. ∃m:ℕ. (n < m ∧ (q ≤ |Σ0 ≤ i < m. (1/m) * (X[i] s)|)))))

---

Latex:



1.  p  :  FinProbSpace@i
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
3.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  RandomVariable(p;f[n])@i
4.  s  :  \mBbbQ{}@i
5.  k  :  \mBbbQ{}@i
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    f[i]  <  f[n]
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}
          ((E(f[n];X[n])  =  0)
          \mwedge{}  (E(f[n];(x.x  *  x)  o  X[n])  =  s)
          \mwedge{}  (E(f[n];(x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  X[n])  =  k))
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}n.    rv-disjoint(p;f[n];X[i];X[n])@i
9.  \mexists{}B:\mBbbQ{}
        \mforall{}n:\mBbbN{}
            (E(f[n];rv-partial-sum(n;k.if  (k  =\msubz{}  0)
            then  0
            else  (x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
            fi  ))  \mleq{}  B)
\mvdash{}  nullset(p;\mlambda{}s.\mexists{}q:\mBbbQ{}.  (0  <  q  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  (n  <  m  \mwedge{}  (q  \mleq{}  |\mSigma{}0  \mleq{}  i  <  m.  (1/m)  *  (X[i]  s)|)))))


By

(ExRepD
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}n:\mBbbN{}
                                (rv-partial-sum(n;k.if  (k  =\msubz{}  0)
                                  then  0
                                  else  (x.(x  *  x)  *  x  *  x)  o  (1/k)*rv-partial-sum(k;i.X[i])
                                  fi  )  \mmember{}  RandomVariable(p;f[n]))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )

---

Home Index