---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma implies-setmem-piset


1. A : coSet{i:l}
2. ∀t:set-dom(A). (set-item(A;t) ∈ {a:coSet{i:l}| (a ∈ A)} )
3. B : {a:coSet{i:l}| (a ∈ A)}  ⟶ coSet{i:l}
4. x : coSet{i:l}
5. ∀a1,a2:coSet{i:l}.  ((a1 ∈ A) ⇒ (a2 ∈ A) ⇒ seteq(a1;a2) ⇒ seteq(B[a1];B[a2]))
6. (x ⊆ Σa:A.B[a])
7. g : ∀a:coSet{i:l}. ((a ∈ A) ⇒ (∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ B[a]) ∧ ((a,b) ∈ x))))
8. ∀a,b1,b2:coSet{i:l}.  ((a ∈ A) ⇒ (b1 ∈ B[a]) ⇒ (b2 ∈ B[a]) ⇒ ((a,b1) ∈ x) ⇒ ((a,b2) ∈ x) ⇒ seteq(b1;b2))
9. m : ∀t:set-dom(A). (set-item(A;t) ∈ A)
10. λt.(fst((g set-item(A;t) (m t)))) ∈ t:set-dom(A) ⟶ coSet{i:l}
11. λt.(snd((g set-item(A;t) (m t)))) ∈ t:set-dom(A) ⟶ ((fst((g set-item(A;t) (m t))) ∈ B[set-item(A;t)])
                                                        ∧ ((set-item(A;t),fst((g set-item(A;t) (m t)))) ∈ x))
12. λt.(fst(snd((g set-item(A;t) (m t))))) ∈ t:set-dom(A) ⟶ (fst((g set-item(A;t) (m t))) ∈ B[set-item(A;t)])
13. λt.(fst(((λt.(fst(snd((g set-item(A;t) (m t)))))) t))) ∈ t:set-dom(A) ⟶ set-dom(B[set-item(A;t)])
14. z : coSet{i:l}
15. (z ∈ x)
⊢ ∃t:set-dom(A)
   seteq(z;(set-item(A;t),set-item(B[set-item(A;t)];(λt.(fst(((λt.(fst(snd((g set-item(A;t) (m t)))))) t)))) t)))
BY
{ ((Assert (z ∈ Σa:A.B[a]) BY
          (RWO "setsubset-iff" 6 THEN Auto))
   THEN (RWO "setmem-sigmaset" (-1) THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. A : coSet{i:l}
2. ∀t:set-dom(A). (set-item(A;t) ∈ {a:coSet{i:l}| (a ∈ A)} )
3. B : {a:coSet{i:l}| (a ∈ A)}  ⟶ coSet{i:l}
4. x : coSet{i:l}
5. ∀a1,a2:coSet{i:l}.  ((a1 ∈ A) ⇒ (a2 ∈ A) ⇒ seteq(a1;a2) ⇒ seteq(B[a1];B[a2]))
6. (x ⊆ Σa:A.B[a])
7. g : ∀a:coSet{i:l}. ((a ∈ A) ⇒ (∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ B[a]) ∧ ((a,b) ∈ x))))
8. ∀a,b1,b2:coSet{i:l}.  ((a ∈ A) ⇒ (b1 ∈ B[a]) ⇒ (b2 ∈ B[a]) ⇒ ((a,b1) ∈ x) ⇒ ((a,b2) ∈ x) ⇒ seteq(b1;b2))
9. m : ∀t:set-dom(A). (set-item(A;t) ∈ A)
10. λt.(fst((g set-item(A;t) (m t)))) ∈ t:set-dom(A) ⟶ coSet{i:l}
11. λt.(snd((g set-item(A;t) (m t)))) ∈ t:set-dom(A) ⟶ ((fst((g set-item(A;t) (m t))) ∈ B[set-item(A;t)])
                                                        ∧ ((set-item(A;t),fst((g set-item(A;t) (m t)))) ∈ x))
12. λt.(fst(snd((g set-item(A;t) (m t))))) ∈ t:set-dom(A) ⟶ (fst((g set-item(A;t) (m t))) ∈ B[set-item(A;t)])
13. λt.(fst(((λt.(fst(snd((g set-item(A;t) (m t)))))) t))) ∈ t:set-dom(A) ⟶ set-dom(B[set-item(A;t)])
14. z : coSet{i:l}
15. (z ∈ x)
16. a : coSet{i:l}
17. (a ∈ A)
18. b : coSet{i:l}
19. (b ∈ B[a])
20. seteq(z;(a,b))
⊢ ∃t:set-dom(A)
   seteq(z;(set-item(A;t),set-item(B[set-item(A;t)];(λt.(fst(((λt.(fst(snd((g set-item(A;t) (m t)))))) t)))) t)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  coSet\{i:l\}
2.  \mforall{}t:set-dom(A).  (set-item(A;t)  \mmember{}  \{a:coSet\{i:l\}|  (a  \mmember{}  A)\}  )
3.  B  :  \{a:coSet\{i:l\}|  (a  \mmember{}  A)\}    {}\mrightarrow{}  coSet\{i:l\}
4.  x  :  coSet\{i:l\}
5.  \mforall{}a1,a2:coSet\{i:l\}.    ((a1  \mmember{}  A)  {}\mRightarrow{}  (a2  \mmember{}  A)  {}\mRightarrow{}  seteq(a1;a2)  {}\mRightarrow{}  seteq(B[a1];B[a2]))
6.  (x  \msubseteq{}  \mSigma{}a:A.B[a])
7.  g  :  \mforall{}a:coSet\{i:l\}.  ((a  \mmember{}  A)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:coSet\{i:l\}.  ((b  \mmember{}  B[a])  \mwedge{}  ((a,b)  \mmember{}  x))))
8.  \mforall{}a,b1,b2:coSet\{i:l\}.
          ((a  \mmember{}  A)  {}\mRightarrow{}  (b1  \mmember{}  B[a])  {}\mRightarrow{}  (b2  \mmember{}  B[a])  {}\mRightarrow{}  ((a,b1)  \mmember{}  x)  {}\mRightarrow{}  ((a,b2)  \mmember{}  x)  {}\mRightarrow{}  seteq(b1;b2))
9.  m  :  \mforall{}t:set-dom(A).  (set-item(A;t)  \mmember{}  A)
10.  \mlambda{}t.(fst((g  set-item(A;t)  (m  t))))  \mmember{}  t:set-dom(A)  {}\mrightarrow{}  coSet\{i:l\}
11.  \mlambda{}t.(snd((g  set-item(A;t)  (m  t))))  \mmember{}  t:set-dom(A)
        {}\mrightarrow{}  ((fst((g  set-item(A;t)  (m  t)))  \mmember{}  B[set-item(A;t)])
              \mwedge{}  ((set-item(A;t),fst((g  set-item(A;t)  (m  t))))  \mmember{}  x))
12.  \mlambda{}t.(fst(snd((g  set-item(A;t)  (m  t)))))  \mmember{}  t:set-dom(A)
        {}\mrightarrow{}  (fst((g  set-item(A;t)  (m  t)))  \mmember{}  B[set-item(A;t)])
13.  \mlambda{}t.(fst(((\mlambda{}t.(fst(snd((g  set-item(A;t)  (m  t))))))  t)))  \mmember{}  t:set-dom(A)
        {}\mrightarrow{}  set-dom(B[set-item(A;t)])
14.  z  :  coSet\{i:l\}
15.  (z  \mmember{}  x)
\mvdash{}  \mexists{}t:set-dom(A)
      seteq(z;(set-item(A;t),set-item(B[set-item(A;t)];(\mlambda{}t.(fst(((\mlambda{}t.(fst(snd((g  set-item(A;t) 
                                                                                                                                                        (m  t)))))) 
                                                                                                                            t)))) 
                                                                                                        t)))


By

---

Latex:
((Assert  (z  \mmember{}  \mSigma{}a:A.B[a])  BY
                (RWO  "setsubset-iff"  6  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "setmem-sigmaset"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index