---

Step * 1 2 of Lemma setimages_functionality


1. b1 : coSet{i:l}
2. b2 : coSet{i:l}
3. x1 : coSet{i:l}
4. x2 : coSet{i:l}
5. seteq(b1;b2)
6. seteq(x1;x2)
7. z : coSet{i:l}
8. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇐⇒ (z ∈ b2))
9. f : (z:coSet{i:l} × (z ∈ b2)) ⟶ coSet{i:l}
10. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b2).  (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq(f z1;f z2))
11. seteq(z;set-image(f;b2))
12. (z ⊆ x2)
⊢ ∃f:(z:coSet{i:l} × (z ∈ b1)) ⟶ coSet{i:l}
   ((∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b1).  (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq(f z1;f z2))) ∧ seteq(z;set-image(f;b1)))
BY
{ ((Assert ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇒ (z ∈ b2)) BY
          (ParallelOp 8 THEN Auto))
   THEN RenameVar `g' (-1)
   THEN D 0 With ⌜λp.let z,m = p 
                     in f <z, g z m>⌝ 
   THEN Auto) }

1
1. b1 : coSet{i:l}
2. b2 : coSet{i:l}
3. x1 : coSet{i:l}
4. x2 : coSet{i:l}
5. seteq(b1;b2)
6. seteq(x1;x2)
7. z : coSet{i:l}
8. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇐⇒ (z ∈ b2))
9. f : (z:coSet{i:l} × (z ∈ b2)) ⟶ coSet{i:l}
10. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b2).  (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq(f z1;f z2))
11. seteq(z;set-image(f;b2))
12. (z ⊆ x2)
13. g : ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇒ (z ∈ b2))
14. z1 : z:coSet{i:l} × (z ∈ b1)
15. z2 : z:coSet{i:l} × (z ∈ b1)
16. seteq(fst(z1);fst(z2))
⊢ seteq((λp.let z,m = p in f <z, g z m>) z1;(λp.let z,m = p in f <z, g z m>) z2)

2
1. b1 : coSet{i:l}
2. b2 : coSet{i:l}
3. x1 : coSet{i:l}
4. x2 : coSet{i:l}
5. seteq(b1;b2)
6. seteq(x1;x2)
7. z : coSet{i:l}
8. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇐⇒ (z ∈ b2))
9. f : (z:coSet{i:l} × (z ∈ b2)) ⟶ coSet{i:l}
10. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b2).  (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq(f z1;f z2))
11. seteq(z;set-image(f;b2))
12. (z ⊆ x2)
13. g : ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇒ (z ∈ b2))
14. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b1).
      (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq((λp.let z,m = p in f <z, g z m>) z1;(λp.let z,m = p in f <z, g z m>) z2))
⊢ seteq(z;set-image(λp.let z,m = p 
                       in f <z, g z m>;b1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  b1  :  coSet\{i:l\}
2.  b2  :  coSet\{i:l\}
3.  x1  :  coSet\{i:l\}
4.  x2  :  coSet\{i:l\}
5.  seteq(b1;b2)
6.  seteq(x1;x2)
7.  z  :  coSet\{i:l\}
8.  \mforall{}z:coSet\{i:l\}.  ((z  \mmember{}  b1)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (z  \mmember{}  b2))
9.  f  :  (z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b2))  {}\mrightarrow{}  coSet\{i:l\}
10.  \mforall{}z1,z2:z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b2).    (seteq(fst(z1);fst(z2))  {}\mRightarrow{}  seteq(f  z1;f  z2))
11.  seteq(z;set-image(f;b2))
12.  (z  \msubseteq{}  x2)
\mvdash{}  \mexists{}f:(z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b1))  {}\mrightarrow{}  coSet\{i:l\}
      ((\mforall{}z1,z2:z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b1).    (seteq(fst(z1);fst(z2))  {}\mRightarrow{}  seteq(f  z1;f  z2)))
      \mwedge{}  seteq(z;set-image(f;b1)))


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}z:coSet\{i:l\}.  ((z  \mmember{}  b1)  {}\mRightarrow{}  (z  \mmember{}  b2))  BY
                (ParallelOp  8  THEN  Auto))
  THEN  RenameVar  `g'  (-1)
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}p.let  z,m  =  p 
                                      in  f  <z,  g  z  m>\mkleeneclose{} 
  THEN  Auto)

---

Home Index