---

Step * 1 2 2 of Lemma setimages_functionality


1. b1 : coSet{i:l}
2. b2 : coSet{i:l}
3. x1 : coSet{i:l}
4. x2 : coSet{i:l}
5. seteq(b1;b2)
6. seteq(x1;x2)
7. z : coSet{i:l}
8. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇐⇒ (z ∈ b2))
9. f : (z:coSet{i:l} × (z ∈ b2)) ⟶ coSet{i:l}
10. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b2).  (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq(f z1;f z2))
11. seteq(z;set-image(f;b2))
12. (z ⊆ x2)
13. g : ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇒ (z ∈ b2))
14. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b1).
      (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq((λp.let z,m = p in f <z, g z m>) z1;(λp.let z,m = p in f <z, g z m>) z2))
⊢ seteq(z;set-image(λp.let z,m = p 
                       in f <z, g z m>;b1))
BY
{ (((RWO "co-seteq-iff" (-4) THENA Auto) THEN (RWO "setmem-image" (-4) THENA Auto))
   THEN (RWO "co-seteq-iff" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "setmem-image" 0 THENA Auto)
   THEN ParallelOp -4
   THEN ParallelLast
   THEN ExRepD
   THEN D -2) }

1
1. b1 : coSet{i:l}
2. b2 : coSet{i:l}
3. x1 : coSet{i:l}
4. x2 : coSet{i:l}
5. seteq(b1;b2)
6. seteq(x1;x2)
7. z : coSet{i:l}
8. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇐⇒ (z ∈ b2))
9. f : (z:coSet{i:l} × (z ∈ b2)) ⟶ coSet{i:l}
10. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b2).  (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq(f z1;f z2))
11. ∀z1:coSet{i:l}. ((z1 ∈ z) ⇐⇒ ∃x:x:coSet{i:l} × (x ∈ b2). seteq(z1;f x))
12. (z ⊆ x2)
13. g : ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇒ (z ∈ b2))
14. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b1).
      (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq((λp.let z,m = p in f <z, g z m>) z1;(λp.let z,m = p in f <z, g z m>) z2))
15. z1 : coSet{i:l}
16. (z1 ∈ z)
17. x3 : coSet{i:l}
18. x4 : (x3 ∈ b2)
19. seteq(z1;f <x3, x4>)
⊢ ∃x:x:coSet{i:l} × (x ∈ b1). seteq(z1;(λp.let z,m = p in f <z, g z m>) x)

2
1. b1 : coSet{i:l}
2. b2 : coSet{i:l}
3. x1 : coSet{i:l}
4. x2 : coSet{i:l}
5. seteq(b1;b2)
6. seteq(x1;x2)
7. z : coSet{i:l}
8. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇐⇒ (z ∈ b2))
9. f : (z:coSet{i:l} × (z ∈ b2)) ⟶ coSet{i:l}
10. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b2).  (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq(f z1;f z2))
11. ∀z1:coSet{i:l}. ((z1 ∈ z) ⇐⇒ ∃x:x:coSet{i:l} × (x ∈ b2). seteq(z1;f x))
12. (z ⊆ x2)
13. g : ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ b1) ⇒ (z ∈ b2))
14. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b1).
      (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq((λp.let z,m = p in f <z, g z m>) z1;(λp.let z,m = p in f <z, g z m>) z2))
15. z1 : coSet{i:l}
16. x3 : coSet{i:l}
17. x4 : (x3 ∈ b1)
18. seteq(z1;(λp.let z,m = p in f <z, g z m>) <x3, x4>)
⊢ ∃x:x:coSet{i:l} × (x ∈ b2). seteq(z1;f x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  b1  :  coSet\{i:l\}
2.  b2  :  coSet\{i:l\}
3.  x1  :  coSet\{i:l\}
4.  x2  :  coSet\{i:l\}
5.  seteq(b1;b2)
6.  seteq(x1;x2)
7.  z  :  coSet\{i:l\}
8.  \mforall{}z:coSet\{i:l\}.  ((z  \mmember{}  b1)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (z  \mmember{}  b2))
9.  f  :  (z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b2))  {}\mrightarrow{}  coSet\{i:l\}
10.  \mforall{}z1,z2:z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b2).    (seteq(fst(z1);fst(z2))  {}\mRightarrow{}  seteq(f  z1;f  z2))
11.  seteq(z;set-image(f;b2))
12.  (z  \msubseteq{}  x2)
13.  g  :  \mforall{}z:coSet\{i:l\}.  ((z  \mmember{}  b1)  {}\mRightarrow{}  (z  \mmember{}  b2))
14.  \mforall{}z1,z2:z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b1).
            (seteq(fst(z1);fst(z2))
            {}\mRightarrow{}  seteq((\mlambda{}p.let  z,m  =  p  in  f  <z,  g  z  m>)  z1;(\mlambda{}p.let  z,m  =  p  in  f  <z,  g  z  m>)  z2))
\mvdash{}  seteq(z;set-image(\mlambda{}p.let  z,m  =  p 
                                              in  f  <z,  g  z  m>b1))


By

---

Latex:
(((RWO  "co-seteq-iff"  (-4)  THENA  Auto)  THEN  (RWO  "setmem-image"  (-4)  THENA  Auto))
  THEN  (RWO  "co-seteq-iff"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "setmem-image"  0  THENA  Auto)
  THEN  ParallelOp  -4
  THEN  ParallelLast
  THEN  ExRepD
  THEN  D  -2)

---

Home Index