---

Step * of Lemma setmem-piset-implies

∀A:coSet{i:l}. ∀B:{a:coSet{i:l}| (a ∈ A)}  ⟶ coSet{i:l}. ∀x:coSet{i:l}.
  ((∀a1,a2:coSet{i:l}.  ((a1 ∈ A) ⇒ (a2 ∈ A) ⇒ seteq(a1;a2) ⇒ seteq(B[a1];B[a2])))
  ⇒ (x ∈ piset(A;a.B[a]))
  ⇒ ((x ⊆ Σa:A.B[a]) ∧ (∀a:coSet{i:l}. ((a ∈ A) ⇒ (∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ B[a]) ∧ ((a,b) ∈ x)))))))
BY
{ (Intro
   THEN (Assert ∀t:set-dom(A). (set-item(A;t) ∈ {a:coSet{i:l}| (a ∈ A)} ) BY
               ((Auto THEN MemTypeCD THEN Auto) THEN RWO "setmem-iff" 0 THEN Auto))
   THEN RepeatFor 4 (Intro)
   THEN (RWO "setmem-piset-1" (-1) THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN Auto) }

1
1. A : coSet{i:l}
2. ∀t:set-dom(A). (set-item(A;t) ∈ {a:coSet{i:l}| (a ∈ A)} )
3. B : {a:coSet{i:l}| (a ∈ A)}  ⟶ coSet{i:l}
4. x : coSet{i:l}
5. ∀a1,a2:coSet{i:l}.  ((a1 ∈ A) ⇒ (a2 ∈ A) ⇒ seteq(a1;a2) ⇒ seteq(B[a1];B[a2]))
6. f : t:set-dom(A) ⟶ set-dom(B[set-item(A;t)])
7. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ x) ⇐⇒ ∃t:set-dom(A). seteq(z;(set-item(A;t),set-item(B[set-item(A;t)];f t))))
⊢ (x ⊆ Σa:A.B[a])

2
1. A : coSet{i:l}
2. ∀t:set-dom(A). (set-item(A;t) ∈ {a:coSet{i:l}| (a ∈ A)} )
3. B : {a:coSet{i:l}| (a ∈ A)}  ⟶ coSet{i:l}
4. x : coSet{i:l}
5. ∀a1,a2:coSet{i:l}.  ((a1 ∈ A) ⇒ (a2 ∈ A) ⇒ seteq(a1;a2) ⇒ seteq(B[a1];B[a2]))
6. f : t:set-dom(A) ⟶ set-dom(B[set-item(A;t)])
7. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ x) ⇐⇒ ∃t:set-dom(A). seteq(z;(set-item(A;t),set-item(B[set-item(A;t)];f t))))
8. (x ⊆ Σa:A.B[a])
9. a : coSet{i:l}
10. (a ∈ A)
⊢ ∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ B[a]) ∧ ((a,b) ∈ x))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}A:coSet\{i:l\}.  \mforall{}B:\{a:coSet\{i:l\}|  (a  \mmember{}  A)\}    {}\mrightarrow{}  coSet\{i:l\}.  \mforall{}x:coSet\{i:l\}.
    ((\mforall{}a1,a2:coSet\{i:l\}.    ((a1  \mmember{}  A)  {}\mRightarrow{}  (a2  \mmember{}  A)  {}\mRightarrow{}  seteq(a1;a2)  {}\mRightarrow{}  seteq(B[a1];B[a2])))
    {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  piset(A;a.B[a]))
    {}\mRightarrow{}  ((x  \msubseteq{}  \mSigma{}a:A.B[a])  \mwedge{}  (\mforall{}a:coSet\{i:l\}.  ((a  \mmember{}  A)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:coSet\{i:l\}.  ((b  \mmember{}  B[a])  \mwedge{}  ((a,b)  \mmember{}  x)))))))


By

---

Latex:
(Intro
  THEN  (Assert  \mforall{}t:set-dom(A).  (set-item(A;t)  \mmember{}  \{a:coSet\{i:l\}|  (a  \mmember{}  A)\}  )  BY
                          ((Auto  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto)  THEN  RWO  "setmem-iff"  0  THEN  Auto))
  THEN  RepeatFor  4  (Intro)
  THEN  (RWO  "setmem-piset-1"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  Auto)

---

Home Index