---

Step * 1 2 of Lemma setmem-setimages-2


1. A : coSet{i:l}
2. b : coSet{i:l}
3. x : coSet{i:l}
4. f : coSet{i:l}
5. (f ⊆ Σ_:b.x)
6. ∀_:coSet{i:l}. ((_ ∈ b) ⇒ (∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ x) ∧ ((_,b) ∈ f))))
7. ∀_,b1,b2:coSet{i:l}.  ((_ ∈ b) ⇒ (b1 ∈ x) ⇒ (b2 ∈ x) ⇒ ((_,b1) ∈ f) ⇒ ((_,b2) ∈ f) ⇒ seteq(b1;b2))
8. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ A) ⇐⇒ ∃pr:coSet{i:l}. ((pr ∈ f) ∧ seteq(z;snd(pr))))
9. ∀p:z:coSet{i:l} × (z ∈ b). ∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ x) ∧ ((fst(p),b) ∈ f))
10. g : p:(z:coSet{i:l} × (z ∈ b)) ⟶ coSet{i:l}
11. ∀p:z:coSet{i:l} × (z ∈ b). ((g p ∈ x) ∧ ((fst(p),g p) ∈ f))
12. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b).  (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq(g z1;g z2))
⊢ seteq(A;set-image(g;b))
BY
{ ((RWO "co-seteq-iff" 0 THENA Auto) THEN (RWO "setmem-image 8" 0 THEN Auto) THEN ExRepD THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)) }

1
1. A : coSet{i:l}
2. b : coSet{i:l}
3. x : coSet{i:l}
4. f : coSet{i:l}
5. (f ⊆ Σ_:b.x)
6. ∀_:coSet{i:l}. ((_ ∈ b) ⇒ (∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ x) ∧ ((_,b) ∈ f))))
7. ∀_,b1,b2:coSet{i:l}.  ((_ ∈ b) ⇒ (b1 ∈ x) ⇒ (b2 ∈ x) ⇒ ((_,b1) ∈ f) ⇒ ((_,b2) ∈ f) ⇒ seteq(b1;b2))
8. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ A) ⇐⇒ ∃pr:coSet{i:l}. ((pr ∈ f) ∧ seteq(z;snd(pr))))
9. ∀p:z:coSet{i:l} × (z ∈ b). ∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ x) ∧ ((fst(p),b) ∈ f))
10. g : p:(z:coSet{i:l} × (z ∈ b)) ⟶ coSet{i:l}
11. ∀p:z:coSet{i:l} × (z ∈ b). ((g p ∈ x) ∧ ((fst(p),g p) ∈ f))
12. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b).  (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq(g z1;g z2))
13. z : coSet{i:l}
14. pr : coSet{i:l}
15. (pr ∈ f)
16. seteq(z;snd(pr))
⊢ ∃x:x:coSet{i:l} × (x ∈ b). seteq(snd(pr);g x)

2
1. A : coSet{i:l}
2. b : coSet{i:l}
3. x : coSet{i:l}
4. f : coSet{i:l}
5. (f ⊆ Σ_:b.x)
6. ∀_:coSet{i:l}. ((_ ∈ b) ⇒ (∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ x) ∧ ((_,b) ∈ f))))
7. ∀_,b1,b2:coSet{i:l}.  ((_ ∈ b) ⇒ (b1 ∈ x) ⇒ (b2 ∈ x) ⇒ ((_,b1) ∈ f) ⇒ ((_,b2) ∈ f) ⇒ seteq(b1;b2))
8. ∀z:coSet{i:l}. ((z ∈ A) ⇐⇒ ∃pr:coSet{i:l}. ((pr ∈ f) ∧ seteq(z;snd(pr))))
9. ∀p:z:coSet{i:l} × (z ∈ b). ∃b:coSet{i:l}. ((b ∈ x) ∧ ((fst(p),b) ∈ f))
10. g : p:(z:coSet{i:l} × (z ∈ b)) ⟶ coSet{i:l}
11. ∀p:z:coSet{i:l} × (z ∈ b). ((g p ∈ x) ∧ ((fst(p),g p) ∈ f))
12. ∀z1,z2:z:coSet{i:l} × (z ∈ b).  (seteq(fst(z1);fst(z2)) ⇒ seteq(g z1;g z2))
13. z : coSet{i:l}
14. x1 : x:coSet{i:l} × (x ∈ b)
15. seteq(z;g x1)
⊢ ∃pr:coSet{i:l}. ((pr ∈ f) ∧ seteq(g x1;snd(pr)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  coSet\{i:l\}
2.  b  :  coSet\{i:l\}
3.  x  :  coSet\{i:l\}
4.  f  :  coSet\{i:l\}
5.  (f  \msubseteq{}  \mSigma{}$_{}$:b.x)
6.  \mforall{}$_{}$:coSet\{i:l\}.  (($_{}$  \mmember{}  b)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:coSet\{i:l\}.  ((b  \mmember{}  \000Cx)  \mwedge{}  (($_{}$,b)  \mmember{}  f))))
7.  \mforall{}$_{}$,b1,b2:coSet\{i:l\}.
          (($_{}$  \mmember{}  b)  {}\mRightarrow{}  (b1  \mmember{}  x)  {}\mRightarrow{}  (b2  \mmember{}  x)  {}\mRightarrow{}  (($_{}$,b1)  \mmember{}  f\000C)  {}\mRightarrow{}  (($_{}$,b2)  \mmember{}  f)  {}\mRightarrow{}  seteq(b1;b2))
8.  \mforall{}z:coSet\{i:l\}.  ((z  \mmember{}  A)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}pr:coSet\{i:l\}.  ((pr  \mmember{}  f)  \mwedge{}  seteq(z;snd(pr))))
9.  \mforall{}p:z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b).  \mexists{}b:coSet\{i:l\}.  ((b  \mmember{}  x)  \mwedge{}  ((fst(p),b)  \mmember{}  f))
10.  g  :  p:(z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b))  {}\mrightarrow{}  coSet\{i:l\}
11.  \mforall{}p:z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b).  ((g  p  \mmember{}  x)  \mwedge{}  ((fst(p),g  p)  \mmember{}  f))
12.  \mforall{}z1,z2:z:coSet\{i:l\}  \mtimes{}  (z  \mmember{}  b).    (seteq(fst(z1);fst(z2))  {}\mRightarrow{}  seteq(g  z1;g  z2))
\mvdash{}  seteq(A;set-image(g;b))


By

---

Latex:
((RWO  "co-seteq-iff"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "setmem-image  8"  0  THEN  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto))

---

Home Index