---

Step * 1 1 of Lemma A-face-compatible-image


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. K : Cname List
5. f : name-morph(I;K)
6. alpha : X(I)
7. x : Cname
8. (x ∈ I)
9. i : ℕ2
10. f2 : A((x:=i)(alpha))
11. y : Cname
12. (y ∈ I)
13. i1 : ℕ2
14. f4 : A((y:=i1)(alpha))
15. ↑isname(f x)
16. ↑isname(f y)
17. (¬(x = y ∈ Cname)) ⇒ ((f2 (x:=i)(alpha) (y:=i1)) = (f4 (y:=i1)(alpha) (x:=i)) ∈ A(((y:=i1) o (x:=i))(alpha)))
18. f y ∈ nameset(K)
19. f x ∈ nameset(K)
20. ¬((f x) = (f y) ∈ Cname)
21. ¬(x = y ∈ Cname)
22. y ∈ nameset(I-[x])
23. x ∈ nameset(I-[y])
24. f ∈ name-morph(I-[x];K-[f x])
25. f ∈ name-morph(I-[y];K-[f y])
⊢ ((f2 (x:=i)(alpha) f) (f x:=i)(f(alpha)) (f y:=i1))
= ((f4 (y:=i1)(alpha) f) (f y:=i1)(f(alpha)) (f x:=i))
∈ A(((f y:=i1) o (f x:=i))(f(alpha)))
BY
{ TACTIC:(Assert ((f2 (x:=i)(alpha) f) f((x:=i)(alpha)) (f y:=i1))
                = (f2 (x:=i)(alpha) (f o (f y:=i1)))
                ∈ A((f o (f y:=i1))((x:=i)(alpha))) BY
                (BLemma `cubical-type-ap-morph-comp`⋅ THEN Auto)) }

1
.....aux..... 
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. K : Cname List
5. f : name-morph(I;K)
6. alpha : X(I)
7. x : Cname
8. (x ∈ I)
9. i : ℕ2
10. f2 : A((x:=i)(alpha))
11. y : Cname
12. (y ∈ I)
13. i1 : ℕ2
14. f4 : A((y:=i1)(alpha))
15. ↑isname(f x)
16. ↑isname(f y)
17. f y ∈ nameset(K)
18. f x ∈ nameset(K)
19. ¬((f x) = (f y) ∈ Cname)
20. ¬(x = y ∈ Cname)
21. y ∈ nameset(I-[x])
22. x ∈ nameset(I-[y])
23. f ∈ name-morph(I-[x];K-[f x])
24. f ∈ name-morph(I-[y];K-[f y])
25. (f2 (x:=i)(alpha) (y:=i1)) = (f4 (y:=i1)(alpha) (x:=i)) ∈ A(((y:=i1) o (x:=i))(alpha))
⊢ (f y:=i1) ∈ name-morph(K-[f x];K-[f x; f y])

2
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. K : Cname List
5. f : name-morph(I;K)
6. alpha : X(I)
7. x : Cname
8. (x ∈ I)
9. i : ℕ2
10. f2 : A((x:=i)(alpha))
11. y : Cname
12. (y ∈ I)
13. i1 : ℕ2
14. f4 : A((y:=i1)(alpha))
15. ↑isname(f x)
16. ↑isname(f y)
17. (¬(x = y ∈ Cname)) ⇒ ((f2 (x:=i)(alpha) (y:=i1)) = (f4 (y:=i1)(alpha) (x:=i)) ∈ A(((y:=i1) o (x:=i))(alpha)))
18. f y ∈ nameset(K)
19. f x ∈ nameset(K)
20. ¬((f x) = (f y) ∈ Cname)
21. ¬(x = y ∈ Cname)
22. y ∈ nameset(I-[x])
23. x ∈ nameset(I-[y])
24. f ∈ name-morph(I-[x];K-[f x])
25. f ∈ name-morph(I-[y];K-[f y])
26. ((f2 (x:=i)(alpha) f) f((x:=i)(alpha)) (f y:=i1))
= (f2 (x:=i)(alpha) (f o (f y:=i1)))
∈ A((f o (f y:=i1))((x:=i)(alpha)))
⊢ ((f2 (x:=i)(alpha) f) (f x:=i)(f(alpha)) (f y:=i1))
= ((f4 (y:=i1)(alpha) f) (f y:=i1)(f(alpha)) (f x:=i))
∈ A(((f y:=i1) o (f x:=i))(f(alpha)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  I  :  Cname  List
4.  K  :  Cname  List
5.  f  :  name-morph(I;K)
6.  alpha  :  X(I)
7.  x  :  Cname
8.  (x  \mmember{}  I)
9.  i  :  \mBbbN{}2
10.  f2  :  A((x:=i)(alpha))
11.  y  :  Cname
12.  (y  \mmember{}  I)
13.  i1  :  \mBbbN{}2
14.  f4  :  A((y:=i1)(alpha))
15.  \muparrow{}isname(f  x)
16.  \muparrow{}isname(f  y)
17.  (\mneg{}(x  =  y))  {}\mRightarrow{}  ((f2  (x:=i)(alpha)  (y:=i1))  =  (f4  (y:=i1)(alpha)  (x:=i)))
18.  f  y  \mmember{}  nameset(K)
19.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
20.  \mneg{}((f  x)  =  (f  y))
21.  \mneg{}(x  =  y)
22.  y  \mmember{}  nameset(I-[x])
23.  x  \mmember{}  nameset(I-[y])
24.  f  \mmember{}  name-morph(I-[x];K-[f  x])
25.  f  \mmember{}  name-morph(I-[y];K-[f  y])
\mvdash{}  ((f2  (x:=i)(alpha)  f)  (f  x:=i)(f(alpha))  (f  y:=i1))
=  ((f4  (y:=i1)(alpha)  f)  (f  y:=i1)(f(alpha))  (f  x:=i))


By

---

Latex:
TACTIC:(Assert  ((f2  (x:=i)(alpha)  f)  f((x:=i)(alpha))  (f  y:=i1))
                            =  (f2  (x:=i)(alpha)  (f  o  (f  y:=i1)))  BY
                            (BLemma  `cubical-type-ap-morph-comp`\mcdot{}  THEN  Auto))

---

Home Index