---

Step * 1 of Lemma A-open-box-image_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. J : Cname List
5. K : Cname List
6. alpha : X(I)
7. f : name-morph(I;K)
8. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
9. x : nameset(I)
10. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
11. i : ℕ2
12. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
13. bx : A-face(X;A;I;alpha) List
14. A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
∧ (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
16. map(f;J) ∈ nameset(K) List
17. f x ∈ nameset(K)
⊢ A-open-box-image(X;A;I;K;f;alpha;bx) ∈ A-open-box(X;A;K;f(alpha);map(f;J);f x;i)
BY
{ ((Assert ⌜∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))⌝⋅
    THENA (Auto
           THEN RepeatFor 2 (D -1)
           THEN OnMaybeHyp 19 (\h. ((With ⌜i1⌝ (D h)⋅ THENA Auto)
                                    THEN RevHypSubst' (-2) (-1)
                                    THEN Reduce (-1)
                                    THEN Complete (Auto))))
    )
   THEN (Assert ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc))))) BY
               (RepeatFor 2 (ParallelLast)
                THEN GenConcl ⌜(fst(fc)) = z ∈ nameset([x / J])⌝⋅
                THEN Auto
                THEN GenConcl ⌜z = Z ∈ name-morph-domain(f;I)⌝⋅
                THEN Auto
                THEN (D -2 THEN Unhide)
                THEN Auto
                THEN RW ListC (-2)
                THEN Auto))
   ) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. J : Cname List
5. K : Cname List
6. alpha : X(I)
7. f : name-morph(I;K)
8. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
9. x : nameset(I)
10. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
11. i : ℕ2
12. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
13. bx : A-face(X;A;I;alpha) List
14. A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
∧ (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
16. map(f;J) ∈ nameset(K) List
17. f x ∈ nameset(K)
18. ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
19. ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
⊢ A-open-box-image(X;A;I;K;f;alpha;bx) ∈ A-open-box(X;A;K;f(alpha);map(f;J);f x;i)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  I  :  Cname  List
4.  J  :  Cname  List
5.  K  :  Cname  List
6.  alpha  :  X(I)
7.  f  :  name-morph(I;K)
8.  nameset(map(f;J))  \msubseteq{}r  nameset(K)
9.  x  :  nameset(I)
10.  \mforall{}x:nameset([x  /  J]).  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
11.  i  :  \mBbbN{}2
12.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
13.  bx  :  A-face(X;A;I;alpha)  List
14.  A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
\mwedge{}  (\mneg{}(x  \mmember{}  J))
\mwedge{}  l\_subset(Cname;J;I)
\mwedge{}  ((\mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <y,  c>))
    \mwedge{}  (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <x,  i>)
    \mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(A-face-name(f)  =  <x,  1  -  i>)))
\mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
\mwedge{}  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(A-face-name(f1)  =  A-face-name(f2)))
15.  \mforall{}x:nameset(J).  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
16.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
17.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
\mvdash{}  A-open-box-image(X;A;I;K;f;alpha;bx)  \mmember{}  A-open-box(X;A;K;f(alpha);map(f;J);f  x;i)


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}fc:A-face(X;A;I;alpha).  ((fc  \mmember{}  bx)  {}\mRightarrow{}  (fst(fc)  \mmember{}  [x  /  J]))\mkleeneclose{}\mcdot{}
    THENA  (Auto
                  THEN  RepeatFor  2  (D  -1)
                  THEN  OnMaybeHyp  19  (\mbackslash{}h.  ((With  \mkleeneopen{}i1\mkleeneclose{}  (D  h)\mcdot{}  THENA  Auto)
                                                                    THEN  RevHypSubst'  (-2)  (-1)
                                                                    THEN  Reduce  (-1)
                                                                    THEN  Complete  (Auto))))
    )
  THEN  (Assert  \mforall{}fc:A-face(X;A;I;alpha).  ((fc  \mmember{}  bx)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  (fst(fc)))))  BY
                          (RepeatFor  2  (ParallelLast)
                            THEN  GenConcl  \mkleeneopen{}(fst(fc))  =  z\mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  GenConcl  \mkleeneopen{}z  =  Z\mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  (D  -2  THEN  Unhide)
                            THEN  Auto
                            THEN  RW  ListC  (-2)
                            THEN  Auto))
  )

---

Home Index